SUMATORIA

El sumatorio o sumatoria también conocida como operador de suma, notación sigma o símbolo de suma, es una notación matemática que permite representar una suma de varios sumandos, n o incluso infinitos sumandos son colocar puntos suspensivos. Se expresa mediante la letra sigma mayúscula.

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Este operador será utilizado en el curso en la construcción de conceptos como media aritmética, varianza, covarianza, correlación, estimación de los coeficientes del modelo de regresión entre otros

Definición

Se define como

\[\sum_{i=1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{n}\]

Esta forma de expresión matemática nos ayuda a resumir la escritura de series de sucesiones matemáticas, las cuales puede ser finitas o infinitas como:

• Finita : \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n}\)

• Infinita : \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ...\)

Ahora si se quiere representar la suma de los primeros 100 números enteros se escribe:

\[\sum_{i=1}^{100} x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + 99 +100\]

sum(1:100)

Ejemplo 1

Si se tienen las notas de un examen de 12 estudiantes como:

3.4, 4.2, 2.5, 4.1, 3.0, 4.2, 4.7, 3.3, 4.5, 5.0, 2.5, 4.8

Y se desea calcular la media de las notas, primero se deben sumar todas las notas y el resultado dividirlo por el numero de notas.

\[\bar{x} = \dfrac{1}{12}\displaystyle\sum_{i=1}^{12} x_{i}\] En este caso \(3.4\) representa el primer termino de la suma \(x_1\) , el segundo término \(x_2 = 4.2\), asi, hasta el final donde \(4.8\) representa \(x_{12}\). Lo cual equivale a :

\[\dfrac{(3.4 + 4.2 + 2.5 + 4.1 + 3.0 + 4.2 + 4.7 + 3.3 + 4.5 + 5.0 + 2.5 + 4.8)}{12}=\dfrac{46.2}{12}\]

x=c(3.4, 4.2, 2.5, 4.1 , 3.0, 4.2, 4.7, 3.3, 4.5, 5.0, 2.5, 4.8)
sum(x)/12

Propiedades

• \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} k = nk\),

• \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} kx_{i} = k \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}\),

• \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (ax_{i}+by_{i}) = a\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i} + b\displaystyle\sum_{i=1}^{n} y_{i}\)

donde \(k\), \(a\) y \(b\) son constantes y \(x_i\) y \(y_{i}\) corresponden a lod terminod i-esimo de los conjuntos de datos

Ejemplo 2

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{5} 3 = 15\), ¿ Porqué ?

Ejemplo 3

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{10} 10x = 550\), ¿ Porqué ?

Ejemplo 4

\(\displaystyle\sum_{i=1}^{10} (3x_{i}+2y_{i}) =475\), ¿ Porqué ?

donde \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10} x_{i} =55\) y \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10} y_{i}=155\)

Problemas propuestos

1. Calcular las siguientes sumatorias:

1. \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10} (3i+5)\)

2. \(\displaystyle\sum_{t=0}^{2} 2^{t}\)

3. \(\displaystyle\sum_{w=0}^{6} 3w^{2}\)

2. Para los siguientes conjuntos de datos:

x = c(3.6, 3.5, 3.6, 3.5, 3.0, 4.0, 3.2, 3.8, 3.5, 3.3, 3.4, 3.8, 3.4, 3.4, 3.1)
y = c(3.4, 4.3, 4.5, 4.1, 4.5, 4.1, 3.4, 4.0, 4.2, 4.6, 3.5, 3.8, 4.5, 3.5, 4.1)

x = c(3.6, 3.5, 3.6, 3.5, 3.0, 4.0, 3.2, 3.8, 3.5, 3.3, 3.4, 3.8, 3.4, 3.4, 3.1)
y = c(3.4, 4.3, 4.5, 4.1, 4.5, 4.1, 3.4, 4.0, 4.2, 4.6, 3.5, 3.8, 4.5, 3.5, 4.1)

Determine los valores de :

1. \(\displaystyle\sum_{i=1}^{15} x_{i}\)

2. \(\displaystyle\sum_{w=1}^{15} y_{i}\)

3. \(\dfrac{1}{14}\displaystyle\sum_{i=1}^{15}(y_{i}-4.0)^{2}\)

4. \(\displaystyle\sum_{i=1}^{15} (x_{i}-3.5)\)

5. \(\dfrac{1}{14}\displaystyle\sum_{i=1}^{15}(x_{i}-3.5)(y_{i}-4.0)\)

6. \(\displaystyle\sum_{i=1}^{15} \dfrac{(x_{i}-3.5)(y_{i}-4.0)}{(x_{i}-3.5)^{2}}\)