Unidad 5.1

Regresión Lineal Simple

Inicialmente los datos son representados en un diagrama de dispersión que ayuda a visualizar el tipo de relación que hay entre ellos

x=c(24.3, 12.5, 31.2, 28.0, 35.1, 10.5, 23.2, 10.0,  8.5,  15.9,  14.7,  15.0)   
y=c(16.2,  8.5, 15.0, 17.0, 24.2, 11.2, 15.0,  7.1,  3.5,  11.5, 10.7,  9.2) 
plot(x,y, pch=19, col=c5, las=1)

Estimación MCO

Se pretende estimar un modelo que represente los datos mediante una linea recta

\(\widehat{y}= b_{0} + b_{1} x\)

Donde + \(b_{0}\) : representa el intercepto + \(b_{1}\) : representa la pendiente

la función utilizada para la estimación de los parámetros por el método de MCO es : lm()

regresion=lm(y ~ x)
plot(x,y, xlab = "Ingresos", ylab = "Consumo estimado", pch=19, col=c3, las=1)
abline(regresion)

uhat=regresion$residuals
yhat=regresion$fitted.values

data.frame(y,x,yhat, uhat)

      y    x      yhat       uhat
1  16.2 24.3 15.341446  0.8585544
2   8.5 12.5  8.755023 -0.2550230
3  15.0 31.2 19.192828 -4.1928284
4  17.0 28.0 17.406680 -0.4066799
5  24.2 35.1 21.369697  2.8303031
6  11.2 10.5  7.638680  3.5613199
7  15.0 23.2 14.727457  0.2725429
8   7.1 10.0  7.359594 -0.2595944
9   3.5  8.5  6.522337 -3.0223373
10 11.5 15.9 10.652806  0.8471942
11 10.7 14.7  9.983000  0.7169999
12  9.2 15.0 10.150451 -0.9504515

Validación de supuestos

La verificación de los supuestos constituye un requisito excencial para la realización de inferencia sobre los parámetros estimados

Supuesto 1

Normalidad de los errores

library(fBasics)
# Test de normalidad de los errores
# Ho: los errores tienen distribución normal
ks.test(uhat, "pnorm") # test de normalidad

    Exact one-sample Kolmogorov-Smirnov test

data:  uhat
D = 0.17998, p-value = 0.7698
alternative hypothesis: two-sided

shapiro.test(uhat) # test de normalidad

    Shapiro-Wilk normality test

data:  uhat
W = 0.94569, p-value = 0.5751

# se debe instalar paquete fBasics
# install.packages("fBasics")
jarqueberaTest(uhat) # test de normalidad

Title:
 Jarque-Bera Normality Test

Test Results:
  STATISTIC:
    X-squared: 0.2039
  P VALUE:
    Asymptotic p Value: 0.9031 

Supuesto 2

Modelo completo, esto se traduce en que el término error tiene media cero.

# t-test para verificar E[u]=0, modelo completo
# Ho: miu_u = 0
t.test(uhat)

    One Sample t-test

data:  uhat
t = -5.9676e-17, df = 11, p-value = 1
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -1.363421  1.363421
sample estimates:
    mean of x 
-3.696678e-17 

Supuesto 3

Los errores no estan autocorrelacionados, es decir son independientes unos de otros

# Test de Autocorrelacion de errores
# Cor[ui,uj]=0
# Ho: no existe autocorrelacion entre los errores
# se debe instalar paquete lmtest
# install.packages("lmtest")
library(lmtest) #dwtest
dwtest(y ~ x) # test de Durbin-Wapson

    Durbin-Watson test

data:  y ~ x
DW = 1.5517, p-value = 0.1769
alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Supuesto 4

Los errores tienen varianza constante

# Test de Homoscedasticidad
# Ho: la varianza de los erroes es constante
# Ho: V(u) = sigma2
gqtest(y ~ x)

    Goldfeld-Quandt test

data:  y ~ x
GQ = 0.19285, df1 = 4, df2 = 4, p-value = 0.93
alternative hypothesis: variance increases from segment 1 to 2

library(ggplot2)
x=c(24.3, 12.5, 31.2, 28.0, 35.1, 10.5, 23.2, 10.0,  8.5,  15.9,  14.7,  15.0)   
y=c(16.2,  8.5, 15.0, 17.0, 24.2, 11.2, 15.0,  7.1,  3.5,  11.5, 10.7,  9.2) 
datos=data.frame(x,y)
p <- ggplot(datos, aes(x, y)) +
  geom_point()
p + geom_smooth(method = "lm",  level = 0.95)