Funciones modelos



Código R

Existe un grupo de modelos identificados para las variables aleatorias tanto discretas como continuas que son utilizadas con frecuencia en diferentes contextos. A continuación se relacionan los principales modelos:



Modelos discretos:

  • Bernoulli,
  • binomial,
  • Poisson,
  • geometrico,
  • hipergeometrico,
  • binomial negativo.



Modelos continuos:

  • uniforme
  • normal
  • exponencial
  • lognormal
  • gamma
  • beta
  • Weibull
  • Cauchy
  • Gumbel
  • t-Student
  • Ji-cuadrado
  • F de Fisher
  • Empirica o Kernel



En \(R\) los nombre de las funciones diseñadas para los cálculos requeridos están conformadas por dos partes:

La primera parte es una letra que identifica el propósito de la función.

  • d : función de distribución de probabilidad \(f(x)= P(X=x)\), para el caso discreto. En el caso de las variables continuas representa la función de densidad de probabilidad \(f(x)\)

  • p : función de probbilidad acumulada \(F(x) = P(X \leq x)\)

  • q : percentil \(X_p\)

  • r : generador de números aleatorios



La siguiene tabla presenta estas las funciones para los principales modelos tanto discretos como continuos



modelo \(F(x)\) \(X_{p}\) \(f(x)\) aleatorio
binomial pbinom qbinom dbinom rbinom
gometrico pgeom qgeom dgeom rgeom
hipergeometrico phyper qhyper dhyper rhyper
Poisson ppois qpois dpois rpois
binomial negativo pnbinom qnbinom dnbionom rnbinom
beta pbeta qbeta dbeta rbeta
Cauchy pcauchy qcauchy dcauchy rcauchy
exponencial pexp qexp dexp rexp
gamma pgamma qgamma dgamma rgamma
lognormal plnorm qlnorm dlnorm rlnorm
uniforme punif qunif dunif runif
Weibull pweibull qweibull dweibull rweibull
t-Student pt qt dt rt
Ji-cuadrado pchisq qchisq dchisq rchisq
F pf qf df rf



En R los nombres de las funciones diseñadas para los cálculos requeridos están conformadas por dos partes: la primera parte con el propósito de la función (primera letra) y la segunda parte hace referencia al modelo a utilizar (d binom para el calculo de probabilidad de una variable aleatoria con distribución binomial)

En cada caso si no recuerda las sintaxis de la función puede hacer uso de las ayudas de R así:



 help("pbinom")



p función de distribución acumulada \(F(x)\)
q percentil
d densidad de probabilidad \(P(X=x)\)
r variable aleatoria





Ejemplo 1

Sea una variables con distribución binomial con parámetros \(n=20\) y \(p=0.30\) , lo cual se puede simbolizar como : \(X\sim b(x; 20,0.30)\)

En este caso se requieren realizar los siguientes procesos:

  1. Calcular la probabilidad de $ P(X=7)$
  2. Calcular la probabilidad acumulada \(P(X \leq 7)\)
  3. Construir la tabla de los valores de \(f(x)\) y \(F(x)\) para todo el rango de la variable
  4. Generar 15 números aleatorios a partir de esta distribución
  5. Construir la gráfica de la función de distribución de probabilidad \(f(x)\) para \(X\)
  6. Construir la gráfica de la función de distribución acumulada \(F(x)\)




Solución

  1. Calcular la probabilidad de \[ P(X=7) = \dbinom{20}{7} 0.30^{7} (10.30)^{(20-7)}\]
dbinom(7, 20, 0.30)
[1] 0.164262


  1. Calcular la probabilidad acumulada \[P(X \leq 7) = \displaystyle\sum_{x=0}^{x=7} \dbinom{20}{x} 0.30^{x} (1-0.30)^{(20-x)}\]
pbinom(7, 20, 0.30)
[1] 0.7722718


  1. Construir la tabla de los valores de \(f(x)\) y \(F(x)\) para todo el rango de la variable
x=0:20                     # genera secuencia 0 al 20
fx=dbinom(x, 20, 0.30)     # evalua f(x)
fx=round(fx,4)             # redondea a 4 decimales
Fx=pbinom(x, 20, 0.30)     # evalua en F(x)
Fx=round(Fx,4)             # redondea a 4 decimales
data.frame(x,fx,Fx)        # construye tabla
    x     fx     Fx
1   0 0.0008 0.0008
2   1 0.0068 0.0076
3   2 0.0278 0.0355
4   3 0.0716 0.1071
5   4 0.1304 0.2375
6   5 0.1789 0.4164
7   6 0.1916 0.6080
8   7 0.1643 0.7723
9   8 0.1144 0.8867
10  9 0.0654 0.9520
11 10 0.0308 0.9829
12 11 0.0120 0.9949
13 12 0.0039 0.9987
14 13 0.0010 0.9997
15 14 0.0002 1.0000
16 15 0.0000 1.0000
17 16 0.0000 1.0000
18 17 0.0000 1.0000
19 18 0.0000 1.0000
20 19 0.0000 1.0000
21 20 0.0000 1.0000


  1. Generar 15 números aleatorios a partir de esta distribución
rbinom(15,20,0.30)
 [1] 3 5 7 6 6 7 6 6 7 7 3 5 4 5 6


  1. Construir la gráfica de la función de distribución de probabilidad \(f(x)\) para \(X\)
plot(x,dbinom(x,20,0.30), pch=19,las=1,  
    ylab="f(x)", col=c3)
grid()


  1. Construir la gráfica de la función de distribución acumulada \(F(x)\)
x=0:20
    plot(x,pbinom(x,20,0.30), pch=19, "s",las=1,
    ylab="f(x)", col=c3)


\(f(x)\)

library(ggplot2)
x=0:20
fx=dbinom(x,20,0.30)
dat=data.frame(x,fx)
    
ggplot(dat) + geom_point(aes(x, fx),colour = c3, size = 2) +
        scale_x_continuous(limits = c(0, 20),
          breaks = 0:20, 
        labels = c('0','1','2','3','4','5','6','7','8','9','10','11','12','13','14', '15','16','17','18','19','20'))






Ejemplo 2

Ahora supongamos que se tiene una variable continua con distribución normal, con media 50 y varianza 100, es decir desviación estándar 10, lo cual se puede representar como \(X\sim N(50,100)\).

En este caso vamos a hallar los siguientes valores:


  1. Calcular la probabilidad de que un valor de \(X\) sea menor o igual a 70,
  2. Calcular la probabilidad de que la variable sea mayor a 70: \(P(X>70)\)
  3. Genere 10 números aleatorios de la variables \(X\)
  4. Generar la gráfica de la función de densidad de la variable \(X\), \(f(x)\)
  5. Generar la gráfica de la función de probabilidad acumulada de la variable \(X\), \(F(x)\)




Solución


  1. Calcular la probabilidad de que un valor de \(X\) sea menor o igual a 70,

\[ P(X<70) =\displaystyle\int_{-\infty}^{70} \dfrac{1}{\sqrt{200 \pi }} \exp{\frac{1}{200 }(x-50)^{2}} \:dx \]

 pnorm(70,50,sqrt(100))
[1] 0.9772499


  1. Calcular la probabilidad de que la variable sea mayor a 70: \(P(X>70)\)
pnorm(70,50,sqrt(100),lower.tail=FALSE)
[1] 0.02275013


  1. Genere 10 números aleatorios de la variables \(X\)
rnorm(10,70,sqrt(100))
 [1] 65.04015 65.38150 81.50927 57.80083 77.77920 65.42652 52.79047 63.08919
 [9] 58.48887 73.36456


  1. Generar la gráfica de la función de densidad de la variable \(X\), \(f(x)\)
curve(dnorm(x,50,sqrt(100)), from=20, to=80, 
col=c3, main="Distribución Normal(50,100)",
ylab="f(x)", las=1)


  1. Generar la gráfica de la función de probabilidad acumulada de la variable \(X\), \(F(x)\)
curve(pnorm(x,50,sqrt(100)), from=20, to=80, 
col=c3, main="Distribución Normal(50,100)",las=1,
ylab="f(x)")



Código

# install.package("ggfortify")
library(ggfortify)
ggdistribution(dnorm, seq(-4, 4, 0.1), mean = 0, sd = 1,fill = c4)

# install.package("ggfortify")
library(ggfortify)
ggdistribution(pnorm, seq(-4, 4, 0.1), mean = 0, sd = 1)


Por otro lado el proceso de simulación de variables estadísticas esta relacionado con los experimentos llamados de Montecarlo, a continuación se describe brevemente su origen.




Método de Montecarlo

Es un método no determinista o estadístico numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Montecarlo (Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Montecarlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora.

El uso de los métodos de Montecarlo como herramienta de investigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial en el Laboratorio Nacional de Los Álamos en EE. UU. Este trabajo conllevaba la simulación de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fisión. Esta difusión posee un comportamiento eminentemente aleatorio.
(tomado de Wikipedia)

Como ejemplo se presentan los siguientes problemas tomados de Navidi.



Ejemplo 3

Se fabrican placas rectangulares cuyas longitudes en pulgadas se distribuyen como \(N(2.0; 0.01)\) y cuyos anchos se distribuyen \(N(3.0; 0.04)\). Suponga que las longitudes y los anchos son independientes. El área de una placa esta dada por \(A=XY\).

  1. Utilice una muestra simulada de tamaño \(1000\) para estimar la media y la varianza de \(A\).

  2. Estime la probabilidad de que \(P(5.9 <A<6.1)\).

  3. Construya una gráfica de distribución normal qqplot para el área. ¿El área de una placa sigue una distribución normal?

Problema 3 capitulo 4 Navidi(2006)



Solución

    X2=rnorm(1000,mean=2.0,sd=0.1)    #  generación de números aleatorios  de X
    Y2=rnorm(1000,mean=3.0,sd=0.2)    #  generación de números aleatorios  de Y
    Z2=data.frame(X2,Y2)              #  generación de matriz de X,Y
    A2=apply(Z2,1,prod)               #  área de la placa A=XY
    mediaA=mean(A2)                   #  media del vector de áreas 
    varianzaA=var(A2)                 #  varianza del vector de áreas 
    B2=as.numeric(A2>5.9 & A2<6.1)    #  generación de variable de 0,1. Con valor de 1 cundo se cumple la condición y cero en otros casos
    Pro3c=sum(B2)/1000                #  calculo de la  probabilidad 
    hist(A2, las=1, main =" ")                          # histograma del valor de las áreas

    qqnorm(A2)                        # gráfico de normalidad del área

summarytools::descr(A2)
Error in match.call(f, call): ... used in a situation where it does not exist
Descriptive Statistics  

                         A2
----------------- ---------
             Mean      6.01
          Std.Dev      0.48
              Min      4.74
               Q1      5.68
           Median      6.00
               Q3      6.31
              Max      7.49
              MAD      0.47
              IQR      0.63
               CV      0.08
         Skewness      0.23
      SE.Skewness      0.08
         Kurtosis     -0.06
          N.Valid   1000.00
                N   1000.00
        Pct.Valid    100.00




App Probability Distributions

Esta aplicación permite calcular probabilidades desde el celular