PRODUCTORIA



El productorio o productoria, también conocido como multiplicatorio, multiplicatoria o simplemente producto es una notación matemática que representa una multiplicación de una cantidad arbitraria finita o infinita.

Wikipedia

Este operador será utilizado para desarrollar el método de estimación de Máxima Verosimilitud, soporte de la inferencia estadística abordado en la Unidad 4.1 del Módulo 4.




Definición

Se define como:

\[\displaystyle\prod_{i=1}^n a_{i} = a_1 \times a_2 \times a_3 \times \cdots \times a_n\]


El operador consiste en multiplicar un numero de veces establecido los términos \(a_i\) Una de las aplicaciones más conocida de la productoria son los números factoriales

\[n! = \displaystyle\prod_{i=1}^n i = 1 \times 2 \times 3 \cdots \times n\]

Este operador también se utiliza para multiplicar funciones, matrices como por ejemplo:

\[\displaystyle\prod_{i=1}^n f(x_i) = f(x_1) \times f(x_2) \times f(x_3) \cdots \times f(x_n)\]
Para el caso de \(f(x) = \exp\{x\}\) tenemos:

\[\displaystyle\prod_{i=1}^n \exp\{x_i\} = \exp\{x_1\} \times \exp\{x_2\} \times \exp\{x_3\} \cdots \times \exp\{x_n\}\]

Al tener la misma base con diferente exponente, el resultado se obtiene al colocar la misma base y sumar los exponentes,

\[\exp\Bigg\{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}\Bigg\}\]





Problema 1

Encontrar la multiplicación de los 10 primeros números

\[\displaystyle\prod_{x=1}^n x = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \]

prod(1:10)
[1] 3628800



Problemas propuestos

  1. \(\displaystyle\prod_{k=1}^{20} 2^{k}\)



  1. \(\displaystyle\prod_{k=1}^{20} k 2^{k}\)



  1. \(\displaystyle\prod_{i=1}^n f(x_{i})\)


para las siguientes funciones:

  • \(f(x) = \dfrac{1}{60}\)


  • \(f(x_{i}) = \dfrac{1}{x_{i}}\)


  • \(f(x_{i}) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\bigg\{\frac{1}{2}x^{2}\bigg\}\)