Teoría de probabilidades
dgonzalez
Problema 1
Para una variable aleatoria con distribución binomial \(X \sim binom(x, n=10, p=0.5)\) .
Determine:
- la función de distribución asociada a \(X\).
- \(P(X = 5)\)
- \(P(X \leq 2)\)
- \(P(3 \leq X <5)\)
- \(P(X \geq 8)\)
- Construya la gráfica de \(f_{_{X}}(x)\)
Problema 2
Sea una variable geométrica \(X \sim geomn,(x,p=0.05)\)
Determine :
- \(P(X = 1)\)
- \(P(X \leq 2)\)
- \(P(X = 8)\)
- \(P(X \geq 2)\)
- Construya la gráfica de \(f_{_{X}}(x)\)
Problema 3
Suponga que X tiene una distribución hipergeometrica con \(N=100\), \(n=4\) y \(K=20\). (\(X \sim hyper(x,N=100,n=4,k=20)\))
Determine:
- \(P(X = 1)\)
- \(P(X = 6)\)
- \(P(X \geq 1)\)
- \(P(X = 4)\)
- Construya la gráfica de \(f_{_{X}}(x)\)
Problema 4
Suponga que X tiene una distribución Poisson con media \(\lambda=4\) (\(X \sim pois(x,\lambda=4)\)).
Determine:
- \(P(X = 0)\)
- \(P(X = 4)\)
- \(P(X \geq 2)\)
- \(P(X \leq 2)\)
- Construya la gráfica de \(f_{_{X}}(x)\)
Problema 5
Sea la variable \(X\) con distribución binomial negativa con N=100 , K=20, n=5 (\(X \sim nbinom(x,n,p,mu)\) )
Determine:
- \(P(X = 0)\)
- \(P(X = 6)\)
- \(P(X \geq 10)\)
- \(P(X \leq 12)\)
- \(E[X]\) y \(V[X]\)
- Construya la gráfica de \(f_{_{X}}(x)\)
Problema 6
En un cargamento grande de llantas para automóviles, del cual el 5% tiene imperfecciones. Se eligen de manera aleatoria 4 llantas para ser instalada en un automóvil. (Sea X el número de llantas con imperfecciones. \(X \sim binom(n=4, p=0.05\) )
- ¿ Cuál es la probabilidad de que ninguna de las llantas tenga imperfecciones?
- ¿ Cuál es la probabilidad de que sólo una de las llantas tenga imperfecciones?
- ¿ Cuál es la probabilidad de una o más llantas tenga imperfecciones?
Problema 7
Los clientes llegan al mostrador de una tienda de acuerdo con una variable aleatoria Poisson con una frecuencia promedio de ocho clientes por hora.
- Calcule la probabilidad de que entre las 8 AM y las 9 AM lleguen exactamente cinco clientes.
- Calcule la probabilidad de que entre las 2:30 PM y las 3:30 PM no lleguen más de tres clientes.
- Calcule la probabilidad de que lleguen exactamente dos clientes dentro de un intervalo de dos horas continuas, por ejemplo entre 10 AM y 12 M.
- Calcule el valor esperado del número de personas que llegan a la tienda entre las 2 PM y las 4:30 PM.
Problema 8
Se está desarrollando una nueva variedad de maíz en una extensión de experimentación agrícola. Se espera que tenga una tasa de germinación del 90%. Para verificar esto, se plantan 20 semillas en suelos de idéntica composición y se les dedican los mismos cuidados. Si la cifra 90% es correcta, ¿cuántas semillas se espera que germinen? Si sólo germinan 15 o menos, ¿hay razón para sospechar de la cifra 90%?
Problema 9
Un examen de Probabilidad consta de 100 preguntas de selección múltiple, cada una con cuatro opciones de respuesta. Maria responde cada pregunta al azar y sus respuestas son independientes
- Si para aprobar el examen Juan debe responder mínimo 60 preguntas correctamente, calcule la probabilidad de que Maria apruebe el examen.
- Calcule la probabilidad de que Maria deba responder 10 preguntas hasta responder la primera pregunta correctamente.
- ¿Cuál es el número esperado de preguntas que Maria responderá erróneamente hasta responder 5 preguntas correctamente?
Problema 10
Se sospecha que muchas muestras de agua, todas del mismo tamaño y tomadas del Hillbank River, han sido contaminadas por operarios irresponsables de una planta de tratamiento de aguas. Se contó el número de microorganismos conformes en cada muestra. El número medio de microorganismos por muestra fue de 15. Suponiendo que el número de microorganismos se distribuye según una distribución de Poisson, calcular la probabilidad de que:
- La siguiente muestra contenga al menos 17 microorganismos.
- La siguiente muestra contenga 18 o menos microorganismos.
- La siguiente muestra contenga exactamente dos microorganismos.
Problema 11
Una aéreolinea nacional tiene aviones de 100 asientos para el servicio de transporte nacional. Se estima que la probabilidad de que una persona llegue al vuelo es de 0.90, debido a lo cual la aereolinea vende 105 tiquetes con el fin de minimizar la partida de aviones con sillas vacias. ¿cuál es la probabilidad de que todas las personas que lleguen para abordar el avión tengan asiento?
Problema 12
El número de grietas en un pavimento se estima en una grieta por cada 100m en promedio. Se desea estimar la probabilidad de:
- Haya exactamente 8 grietas en una longitud de 500 m
- No se presente ninguna grieta en 100 m
- Se presenten menos de 2 grietas en 500 m
Problema 13
Una empresa fabricante de sensores electrónicos ha determinado, a partir de sus registros históricos, que el 92% de los sensores producidos supera satisfactoriamente la prueba final de calidad. Como parte del control del proceso, al finalizar cada turno un ingeniero selecciona aleatoriamente 12 sensores y registra si cada uno supera o no la prueba. Se considera que los resultados son independientes y que las condiciones de producción permanecen estables. La empresa ha establecido que, si la posibilidad de que los 12 sensores seleccionados superen la prueba es superior al 35%, reducirá la frecuencia de las inspecciones durante el siguiente mes; si la posibilidad de obtener al menos 11 sensores aprobados es superior al 70%, clasificará el proceso como de alta confiabilidad; si la posibilidad de encontrar dos o más sensores que no superen la prueba excede el 20%, realizará una revisión preventiva de los equipos de producción; y si la posibilidad de que menos de 10 sensores superen la prueba es inferior al 10%, la aparición de un resultado de este tipo será considerada una señal de alerta que requerirá investigar las condiciones del proceso. A partir de esta información, identifique el modelo probabilístico apropiado y sus parámetros, evalúe las directrices establecidas y determine las decisiones que debería tomar la empresa.
# Distribución binomial dbinom(x, size, prob) pbinom(q, size, prob, lower.tail = TRUE) qbinom(p, size, prob, lower.tail = TRUE) rbinom(n, size, prob) # Distribución Poisson dpois(x, lambda) ppois(q, lambda, lower.tail = TRUE) qpois(p, lambda, lower.tail = TRUE) rpois(n, lambda) # Distribución geométrica dgeom(x, prob) pgeom(q, prob, lower.tail = TRUE) qgeom(p, prob, lower.tail = TRUE) rgeom(n, prob) # Distribución hipergeométrica dhyper(x, m, n, k) phyper(q, m, n, k, lower.tail = TRUE) qhyper(p, m, n, k, lower.tail = TRUE) rhyper(nn, m, n, k) # Distribución binomial negativa dnbinom(x, size, prob, mu) pnbinom(q, size, prob, mu, lower.tail = TRUE) qnbinom(p, size, prob, mu, lower.tail = TRUE) rnbinom(n, size, prob, mu)