Experimentos aleatorios

Como se menciona en la Guía 2.1, un Experimento aleatorio se puede definir como una acción que podemos repetir en iguales condiciones muchas veces y cuyo resultado no conocemos anticipadamente

Ejemplo 1

Un ejemplo de ello es cuando estamos jugando parques y un jugador lanza dos dados, el resultado solo es posible de observar después de haber realizado la acción de lanzarlos.

Al conjunto de todos los posibles valores que puede tomar el experimento aleatorio se le denomina Espacio muestral, que se denota por la letra mayúscula S.

Si el resultado de interés es la suma de los dos dados, su espacio muestral es:

\[S=\{ 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 \}\]

Lanzamiento de un dado

Para simular el lanzamiento de un dado utilizaremos la función sample(x, size, replace = FALSE, prob = NULL), con parámetros: x : valores del espacio muestral; size : tamaño de la muestra y replace : para determinar si la selección se realiza con reemplazo o sin reemplazo.

sample(1:6,200, replace = TRUE), da un resultado una muestra de 200 valores enteros entre 1 y 6, con repetición.

n=200
x=sample(1:6,n, replace = TRUE)
td1=prop.table(table(x))
barplot(td1, las=1, col = c31)

Lanzamiento de dos dados

En este caso utilizamos la función sample() dos veces y se obtienen dos vectores que representan los resultados del dado1 y del dado2 respectivamente. Con estos resultados se construye una data.frame() de dos columnas por n filas. En ella cada fila de dos componentes conforma una muestra con dos valores.

Para obtener la suma de los valores de los dos dados, utilizamos la función apply(X, MARGIN, FUN, ..., simplify = TRUE) indicando con MARGIN=1 que la operación (siguiente parámetro) se realizará por filas. Por último en el parámetro FUN se asigna la función a realizar. En resumen : suma=apply(dados, 1, sum)

n=200
d1=sample(1:6,n, replace = TRUE)
d2=sample(1:6,n, replace = TRUE)
dados=data.frame(d1,d2)
suma=apply(dados, 1, sum)
barplot(table(suma), las=1,cex.axis=0.7, col= c31)

data.frame(prop.table(table(suma)))

   suma  Freq
1     2 0.025
2     3 0.040
3     4 0.120
4     5 0.115
5     6 0.155
6     7 0.165
7     8 0.165
8     9 0.070
9    10 0.060
10   11 0.055
11   12 0.030

Procedimiento alternativo

t=sapply(1:200, function(x){sum(sample(1:6,2,replace = TRUE))})
barplot(table(t), las=1, cex.axis=0.7, col=c31)

Urna

Para simular la extracción de bolas de una urna, se utilizan las funciones sample() y rep() mostradas en el siguiente ejemplo :

Simulación de urna con: 3 bolas Blancas, 5 Rojas y 4 Azules
- 1 representa las bolas blancas
- 2 representa las bolas rojas
- 3 representa las bolas azules

sample(c(1,2,3),10,replace = TRUE,prob=c(3,5,4))

 [1] 2 1 3 2 2 2 3 2 2 2

La misma simulación con palabras

sample(c("Blanca","Roja","Azul"),10,replace = TRUE,prob=c(3,5,4))

 [1] "Roja"   "Roja"   "Azul"   "Azul"   "Blanca" "Roja"   "Blanca" "Roja"  
 [9] "Azul"   "Azul"

# set.seed(123)

# Extraer la muestra
muestra <- sample(
  c("Blanca", "Roja", "Azul"),
  size = 10,
  replace = TRUE,
  prob = c(3, 5, 4)
)

# Datos para el gráfico
df <- data.frame(
  posicion = 1:10,
  color = muestra
)

# Representación de la muestra
ggplot(df, aes(x = posicion, y = 1, fill = color)) +
  geom_point(
    shape = 21,
    size = 14,
    color = "#333333",
    stroke = 1.2
  ) +
  scale_fill_manual(
    values = c(
      "Blanca" = "white",
      "Roja"   = "red",
      "Azul"   = "blue"
    )
  ) +
  scale_x_continuous(
    limits = c(0.5, 10.5),
    expand = c(0, 0)
  ) +
  coord_cartesian(
    ylim = c(0.7, 1.3),
    clip = "off"
  ) +
  theme_void() +
  theme(
    legend.position = "none",
    plot.margin = margin(5, 5, 5, 5)
  )

Tablas de contingencia

Las tablas de contingencia o tablas cruzadas resumen conjuntamente dos variables cualitativas. Primero construimos una tabla con sus frecuencias conjuntas.

frecuencias <- c(20, 60, 100, 30, 140, 50)
m <- matrix(frecuencias, ncol = 2)
rownames(m) <- c("Administrativo", "Operativo", "Vendedor")
colnames(m) <- c("Mujer", "Hombre")
m

               Mujer Hombre
Administrativo    20     30
Operativo         60    140
Vendedor         100     50

A continuación se adicionan las frecuencias marginales

addmargins(m)

               Mujer Hombre Sum
Administrativo    20     30  50
Operativo         60    140 200
Vendedor         100     50 150
Sum              180    220 400

Para convertirlas en probabilidades utilizamos la función prop.table()

prop.table(m)

               Mujer Hombre
Administrativo  0.05  0.075
Operativo       0.15  0.350
Vendedor        0.25  0.125

Esta función también se utiliza para calcular las probabilidades condicionales por filas

prop.table(m,1)

                   Mujer    Hombre
Administrativo 0.4000000 0.6000000
Operativo      0.3000000 0.7000000
Vendedor       0.6666667 0.3333333

o las probabilidades condicionales por columnas

prop.table(m,2)

                   Mujer    Hombre
Administrativo 0.1111111 0.1363636
Operativo      0.3333333 0.6363636
Vendedor       0.5555556 0.2272727

Ejemplo

Supongamos que tenemos una enfermedad rara que afecta al 1% de la población. También sabemos que una prueba médica tiene una precisión del 95% para detectar la enfermedad cuando está presente, pero también puede dar falsos positivos en un 3% de los casos en los que la enfermedad no está presente. Se desea calcular la probabilidad de que una persona tenga la enfermedad dado que la prueba dio positivo.

Primero, establezcamos algunas notaciones:

A: La persona tiene la enfermedad. B: La prueba da positivo.

Queremos calcular \(P(A|B)\), es decir, la probabilidad de que la persona tenga la enfermedad dado que la prueba dio positivo.

Para dar solución al problema empleamos el Teorema de Bayes

\[P(A|B) = \dfrac{P(B|A) . P(A)}{P(B)}\]

Donde

\(P(A|B)\): probabilidad de que la persona tenga la enfermedad dado que la prueba dio positivo.
\(P(A)\) : probabilidad de que una persona tenga la enfermedad (1% en este caso).
\(P(B)\) : probabilidad de que la prueba dé positivo.

Para calcular \(P(B)\) usamos la regla de probabilidad total:

\[P(B) = P(B|A) . P(A) + P(B|A'). P(A')\]

# Probabilidades dadas
Prob_A <- 0.01   # Probabilidad de tener la enfermedad
Prob_B_dado_A <- 0.95   # Precisión de la prueba (dar positivo dado que tiene la enfermedad)
Prob_B_dado_noA <- 0.03   # Falsos positivos (dar positivo dado que no tiene la enfermedad)

# Calculamos P(not A)
Prob_noA <- 1 - Prob_A

# Calculamos P(B)
Prob_B <- Prob_B_dado_A * Prob_A + Prob_B_dado_noA * Prob_noA

# Calculamos P(A|B) usando el Teorema de Bayes
Prob_A_dado_B <- (Prob_B_dado_A * Prob_A) / Prob_B

# Imprimimos el resultado
cat("Probabilidad de tener la enfermedad dado que la prueba dio positivo:", Prob_A_dado_B, "\n")

Probabilidad de tener la enfermedad dado que la prueba dio positivo: 0.2423469

Tabla cruzada

# Crear la tabla cruzada
tabla_cruzada <- matrix(c(0.95 * 0.01, 0.03 * 0.99, 0.05 * 0.01, 0.97 * 0.99), nrow = 2, byrow = TRUE)
colnames(tabla_cruzada) <- c("Enfermedad", "No Enfermedad")
rownames(tabla_cruzada) <- c("Prueba Positiva", "Prueba Negativa")

# Imprimir la tabla cruzada con estilo
tabla_estilizada <- knitr::kable(tabla_cruzada) |>
  kableExtra::kable_styling(bootstrap_options = "striped", full_width = FALSE)

tabla_estilizada

	Enfermedad	No Enfermedad
Prueba Positiva	0.0095	0.0297
Prueba Negativa	0.0005	0.9603

Convergencia de Probabilidad al Lanzar Dos Dados

En el siguiente problema, exploraremos cómo la probabilidad de obtener una suma de 7 al lanzar dos dados converge a su valor teórico a medida que aumentamos el número de lanzamientos. Se sabe que cuando se lanzan dos dados equilibrados, la suma más probable es 7.

Teoría: Si lanzamos dos dados equilibrados, la suma más probable es 7, ya que hay más combinaciones posibles para obtener \(7\) (\(1+6\), \(2+5\), \(3+4\), \(4+3\), \(5+2\), \(6+1\)) que para cualquier otra suma. La probabilidad teórica de obtener una suma de \(7\) es:

\[\dfrac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.1667\]

Simulación: Utilizaremos R para simular lanzamientos de dos dados y calcular la probabilidad de obtener una suma de \(7\). Luego, graficaremos cómo esta probabilidad converge a su valor teórico a medida que aumentamos el número de lanzamientos.
Reto: Ejecutar la simulación con diferentes tamaños de muestra y observar cómo la probabilidad de obtener una suma de \(7\) cambia. Luego, crea un gráfico que muestre esta convergencia. ¿En qué punto la probabilidad simulada se acerca al valor teórico?

Instrucciones:

Utiliza el código de simulación proporcionado y ajusta los tamaños de muestra según las indicaciones.
Ejecuta la simulación para diferentes tamaños de muestra y registra los resultados.
Crea un gráfico que muestre cómo la probabilidad simulada cambia con el tamaño de muestra.
Analiza el gráfico y compara la probabilidad simulada con el valor teórico.
Escribe una breve conclusión sobre cómo la probabilidad converge a medida que aumenta el tamaño de muestra.

Código R

# Una sola simulación permite calcular la frecuencia acumulada
# para todos los tamaños de muestra.
tamanos_muestra <- seq(100, 100000, by = 100)
max_lanzamientos <- max(tamanos_muestra)

dado_1 <- sample(1:6, max_lanzamientos, replace = TRUE)
dado_2 <- sample(1:6, max_lanzamientos, replace = TRUE)
es_suma_7 <- dado_1 + dado_2 == 7

probabilidades <- cumsum(es_suma_7)[tamanos_muestra] / tamanos_muestra

plot(
  tamanos_muestra, probabilidades,
  type = "l",
  xlab = "Tamaño de muestra",
  ylab = "Probabilidad de suma 7",
  main = "Convergencia de la probabilidad de suma 7 al lanzar dos dados",
  las = 1
)
abline(h = 1 / 6, col = "red", lwd = 2)

Teoría de probabilidades

dgonzalez