Sumatoria

El sumatorio o sumatoria también conocida como operador de suma, notación sigma o símbolo de suma, es una notación matemática que permite representar una suma de varios sumandos, n o incluso infinitos sumandos son colocar puntos suspensivos. Se expresa mediante la letra sigma mayúscula.

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Este operador será utilizado en el curso en la construcción de conceptos como media aritmética, varianza, covarianza, correlación, estimación de los coeficientes del modelo de regresión entre otros

Definición de sumatoria

Se define como

\[\sum_{i=1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdots + a_{n}\]

Esta forma de expresión matemática nos ayuda a resumir la escritura de series de sucesiones matemáticas, las cuales puede ser finitas o infinitas como:

Ahora sí se quiere representar la suma de los primeros 100 números enteros se escribe:

\[\sum_{i=1}^{100} x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + 99 +100\]

sum(1:100)

Si se tienen las notas de un examen de 12 estudiantes como:

3.4, 4.2, 2.5, 4.1, 3.0, 4.2, 4.7, 3.3, 4.5, 5.0, 2.5, 4.8

Y se desea calcular la media de las notas, primero se deben sumar todas las notas y el resultado dividirlo por el número de notas.

\[\bar{x} = \dfrac{1}{12}\displaystyle\sum_{i=1}^{12} x_{i}\] En este caso \(3.4\) representa el primer termino de la suma \(x_1\) , el segundo término \(x_2 = 4.2\), asi, hasta el final donde \(4.8\) representa \(x_{12}\). Lo cual equivale a :

\[\dfrac{(3.4 + 4.2 + 2.5 + 4.1 + 3.0 + 4.2 + 4.7 + 3.3 + 4.5 + 5.0 + 2.5 + 4.8)}{12}=\dfrac{46.2}{12}\]

x=c(3.4, 4.2, 2.5, 4.1 , 3.0, 4.2, 4.7, 3.3, 4.5, 5.0, 2.5, 4.8)
sum(x)/12



Propiedades de la sumatoria

  • \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} k = nk\),

  • \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} kx_{i} = k \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}\),

  • \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (ax_{i}+by_{i}) = a\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i} + b\displaystyle\sum_{i=1}^{n} y_{i}\)

donde \(k\), \(a\) y \(b\) son constantes, y \(x_i\) y \(y_i\) corresponden a los términos i-ésimos de los conjuntos de datos.



Problemas propuestos

  1. \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5} 3 = 15\), ¿por qué?

  2. \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10} 10i = 550\), ¿por qué?

  3. \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10} (3x_{i}+2y_{i}) =475\), ¿por qué?

donde \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10} x_{i} =55\) y \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10} y_{i}=155\)

  1. Calcular las siguientes sumatorias:

(a). \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10} (3i+5)\)

(b). \(\displaystyle\sum_{t=0}^{2} 2^{t}\)

(c). \(\displaystyle\sum_{w=0}^{6} 3w^{2}\)

  1. Para los siguientes conjuntos de datos:

x = c(3.6, 3.5, 3.6, 3.5, 3.0, 4.0, 3.2, 3.8, 3.5, 3.3, 3.4, 3.8, 3.4, 3.4, 3.1)
y = c(3.4, 4.3, 4.5, 4.1, 4.5, 4.1, 3.4, 4.0, 4.2, 4.6, 3.5, 3.8, 4.5, 3.5, 4.1)


x = c(3.6, 3.5, 3.6, 3.5, 3.0, 4.0, 3.2, 3.8, 3.5, 3.3, 3.4, 3.8, 3.4, 3.4, 3.1)
y = c(3.4, 4.3, 4.5, 4.1, 4.5, 4.1, 3.4, 4.0, 4.2, 4.6, 3.5, 3.8, 4.5, 3.5, 4.1)

Determine los valores de :

(a). \(\displaystyle\sum_{i=1}^{15} x_{i}\)

(b). \(\displaystyle\sum_{i=1}^{15} y_{i}\)

(c). \(\dfrac{1}{14}\displaystyle\sum_{i=1}^{15}(y_{i}-4.0)^{2}\)

(d). \(\displaystyle\sum_{i=1}^{15} (x_{i}-3.5)\)

(e). \(\dfrac{1}{14}\displaystyle\sum_{i=1}^{15}(x_{i}-3.5)(y_{i}-4.0)\)

(f). \(\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{15}(x_i-3.5)(y_i-4.0)}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{15}(x_i-3.5)^2\displaystyle\sum_{i=1}^{15}(y_i-4.0)^2}}\)

  1. Calcule \(\displaystyle\sum_{i=1}^{20} i\) y compruebe el resultado mediante la fórmula \(\dfrac{n(n+1)}{2}\).

  2. Evalúe las siguientes expresiones:

(a). \(\displaystyle\sum_{i=1}^{8} i^{2}\)

(b). \(\displaystyle\sum_{i=1}^{6} (2i-1)\)

(c). \(\displaystyle\sum_{i=0}^{5} \left(\dfrac{1}{2}\right)^i\)

  1. Si \(\displaystyle\sum_{i=1}^{8}x_i=120\), determine el valor de \(\displaystyle\sum_{i=1}^{8}(2x_i-3)\) sin conocer individualmente los valores de \(x_i\).

  2. Para los datos \(z=(12,15,11,18,14)\), calcule \(\bar z\) y verifique que \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(z_i-\bar z)=0\).

  3. Las ventas de una tienda durante seis días fueron \(125, 140, 132, 160, 155\) y \(148\) unidades. Exprese mediante notación de sumatoria y calcule:

(a). El total de unidades vendidas.

(b). El promedio diario de ventas.

(c). La suma de las diferencias entre cada venta diaria y el promedio.

Código R

# Ejercicio 1: repite la constante 3 cinco veces y suma los términos.
sum(rep(3, 5))

# Ejercicio 2: genera los índices del 1 al 10, los multiplica por 10 y suma.
sum(10 * (1:10))

# Ejercicio 3: aplica la propiedad de linealidad de la sumatoria.
3 * 55 + 2 * 155

# Ejercicio 4(a): evalúa 3i + 5 para i = 1, ..., 10 y suma.
sum(3 * (1:10) + 5)

# Ejercicio 4(b): suma las potencias de 2 para exponentes entre 0 y 2.
sum(2^(0:2))

# Ejercicio 4(c): calcula la suma de 3w^2 para w = 0, ..., 6.
sum(3 * (0:6)^2)

# Ejercicio 5: almacena los dos conjuntos de 15 observaciones.
x <- c(3.6, 3.5, 3.6, 3.5, 3.0, 4.0, 3.2, 3.8,
       3.5, 3.3, 3.4, 3.8, 3.4, 3.4, 3.1)
y <- c(3.4, 4.3, 4.5, 4.1, 4.5, 4.1, 3.4, 4.0,
       4.2, 4.6, 3.5, 3.8, 4.5, 3.5, 4.1)

# Incisos (a) y (b): suma de los valores de x y de y.
sum(x)
sum(y)

# Inciso (c): suma de cuadrados respecto de 4, dividida entre 14.
sum((y - 4)^2) / 14

# Inciso (d): suma de las desviaciones de x respecto de 3.5.
sum(x - 3.5)

# Inciso (e): suma de productos cruzados, dividida entre 14.
sum((x - 3.5) * (y - 4)) / 14

# Inciso (f): normaliza el producto cruzado mediante ambas sumas de cuadrados.
sum((x - 3.5) * (y - 4)) /
  sqrt(sum((x - 3.5)^2) * sum((y - 4)^2))

# Ejercicio 6: compara la suma directa con la fórmula n(n + 1)/2.
n <- 20
sum(1:n)
n * (n + 1) / 2

# Ejercicio 7(a): suma de los cuadrados de los enteros del 1 al 8.
sum((1:8)^2)

# Ejercicio 7(b): suma de los seis primeros números impares.
sum(2 * (1:6) - 1)

# Ejercicio 7(c): suma geométrica desde el exponente 0 hasta el 5.
sum((1 / 2)^(0:5))

# Ejercicio 8: usa sum(2x_i - 3) = 2 sum(x_i) - 3n.
n <- 8
suma_x <- 120
2 * suma_x - 3 * n

# Ejercicio 9: calcula la media y verifica que las desviaciones sumen cero.
z <- c(12, 15, 11, 18, 14)
media_z <- mean(z)
media_z
sum(z - media_z)

# Ejercicio 10: total, promedio y suma de desviaciones de las ventas.
ventas <- c(125, 140, 132, 160, 155, 148)
sum(ventas)
mean(ventas)
sum(ventas - mean(ventas))