Introducción

Antes de iniciar, piensa en estas preguntas:





¿Qué significado tienen las palabras…

  • Azar / Aleatorio
  • Determinístico / No deterministico
  • Incertidumbre / Probable / Improbable
  • Cierto / Incierto / Imposible



Un profesional de la administración, mercadeo, finanzas, de negocios o de ingeniería, toma decisiones bajo incertidumbre todo el tiempo:

  • lanzar o no una campaña,
  • aprobar o no un crédito,
  • priorizar o no un clientes,
  • estimar la demanda futura de un producto.
  • elegir o no un local para abrir una sucursal.
  • contratar o no un candidatos para un puesto
  • invertir o no en la compara de dólares
  • aumentar o no la producción


La probabilidad es una medida numérica que permite cuantificar el grado de posibilidad de ocurrencia de un evento aleatorio. Su valor se encuentra entre 0 y 1, donde 0 representa un evento imposible y 1 un evento seguro. Cuanto mayor sea la probabilidad, mayor será la posibilidad de que el evento ocurra.

Esta la herramienta permite cuantificar esa incertidumbre, ante la ignorancia de conocer si el evento ocurrirá o no.


En esta unidad trabajaremos definiciones básicas y reglas fundamentales con ejemplos sencillos y cercanos al contexto empresarial.



Muchos relacionamos el concepto de probabilidad con los dados, pues forma parte de su origen y de su desarrollo inicial a través de preguntas y situaciones imaginarias y de alguna forma modelables desde las matemáticas. Pero este concepto va mucho más allá como lo veremos en esta unidad.

La probabilidad es un concepto que se empieza a trabajar en 1654 cuando, caballero de Mered solicita a Blas Pascal le ayude a resolver un problema relacionado con juegos de mesa. En particular este caballero manifestaba que las Matemáticas presentaban un vacío, pues sus cálculos no coincidían con lo que pasaba en la realidad y como consecuencia de ellos perdía dinero en las apuestas que se presentaban en el juego.

Encomendado Pascal de esta tarea empieza a compartir su trabajo con Fermat, matemático y de la correspondencia de estos dos brillantes matemáticos nace los principios y fundamentos de lo que hoy conocemos como probabilidad

Con el fin de motivar la construcción de los conceptos principales del tema se plantean las siguientes situaciones :



Problema

El siguiente problema fué planteado por el Caballero de Meré a Pascal quien lo consultó con Fermat y conforma una serie de situaciones que dan origen a soluciones que conforman los inicios del estudio de la Probabilidad (1654).

Los dados, tal y como los conocemos hoy en día, se hicieron muy populares en la edad media. En esta época un caballero llamado Chevalier de Mere propuso el siguiente problema:

Qué es más probable :

Sacar al menos un seis en cuatro tiradas con un solo dado o

Sacar al menos un doble seis en 24 tiradas con dos dados?

El caballero afirmaba que este problema generaba una solución matemática que difería de la observación empírica

Este problema se retoma mas adelante

El problema de los dados del caballero de Meré: soluciones publicadas en el siglo XVII


Iniciaremos con algunos conceptos básicos que nos permiten la contribución de sus fundamentos.



Tomada : película El dorado



Conceptos básicos

Con el fin de poder definir los conceptos principales empezaremos por definir los elementos básicos que nos permitan su contrucción y entendimiento.


Experimento aleatorio

Un experimento aleatorio es una acción repetible cuyo resultado no puede conocerse con certeza antes de observarlo.



Ejemplos

  • \(E_{1}\): Lanzar una moneda dos veces y observar los resultados obtenidos en sus caras superiores

  • \(E_{2}\): Lanzar dos dados y observar la suma de los resultados superiores

  • \(E_{3}\): Realizar un examen de estadística y observar el resultado obtenido

  • \(E_{4}\): En una salida de campo, observo si se cumple o no, totalmente el objetivo planteado

  • \(E_{5}\): Observo el número total de ensayos de laboratorio exitosos en 20 intentos realizados.



Espacio muestral

El espacio muestral (\(S\) o \(\Omega\)) es el conjunto de todos los resultados posibles.



Ejemplos

  • \(S_{1}\)= \(\{ (cc), (cs), (sc), (ss) \}\)

  • \(\begin{equation*} S_{2}=\left\{ \begin{array}{cccccc} &(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)&\\ &(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)&\\ &(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)&\\ &(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)&\\ &(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)&\\ &(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)& \end{array} \right\} \end{equation*}\)


  • \(S_{3}\)= \(\{ x \in \mathbb{R} | 0 \leq x \leq 5 \}\)


  • \(S_{4}\)= \(\{ x \in \mathbb{N}| 0 \leq x \leq 1 \}\)


  • \(S_{5}\)= \(\{ x \in \mathbb{N}| 0 \leq x \leq 20 \}\)



Evento aleatorio

Un evento es un subconjunto del espacio muestral que representa un resultado de interés. Estos conjuntos se denotan con las primeras letras del alfabeto en mayuscula



Ejemplos

\(A_{1}\) Obtener solo caras \(A_{1}=\{ (c,c)\}\)
\(A_{2}\) Sacar un resultados es inferior a 4 \(A_{2}=\{(1,1),(1,2)(2,1)\}\)
\(A_{3}\) Ganar el examen \(A_{3}=\{ x \in \mathbb{R} | 3.0 \leq x \leq 5.0 \}\)
\(A_{4}\) Cumplir el objetivo de la salida \(A_{4} =\{ 1 \}\)
\(A_{5}\) Obtener más de 5 ensayos éxitos \(A_{5}\)= \(\{ x \in \mathbb{N}| 6 \leq x \leq 20 \}\)

Resumiendo:

Experimento aleatorio Espacio muestral Evento aleatorio
Lanzar una moneda dos veces y observar los resultados obtenidos en sus caras superiores \(S_{1}\)= \(\{ (cc), (cs), (sc), (ss) \}\) Obtiener solo caras
Lanzar dos dados y observar la suma de los resultados superiores \(S_{2}\)= \(\{(1,1),(1,2), \dots, (6,6) \}\) Sacar un resultados es inferior a 6
Realizar un examen de estadística y observar el resultado obtenido \(S_{3}\)= \(\{ x \in \mathbb{R} | 0 \leq x \leq 5 \}\) Ganar el examen
En una salida de campo, observo si se cumple o no, totalmente el objetivo planteado \(S_{4}\)= \(\{ x \in \mathbb{N}| 0 \leq x \leq 1 \}\) Cumplir el objetivo de la salida
Observo el número total de ensayos de laboratorio exitosos en 20 intentos realizados \(S_{5}\)= \(\{ x \in \mathbb{N}| 0 \leq x \leq 20 \}\) Obtener más de 5 ensayos éxitos



Enfoques de probabilidad


Enfoque clásico

Se usa cuando todos los resultados posibles del experiemento aleatorio (espacio muestrao) tienen igual probabilidad o equiprobables.

\[P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}\]



Ejemplos

En el caso del evento \(A_{1}=\{(c,c)\}\), su probabilidad se obtiene como:

\(P(A_{1}=\dfrac{n(A_{1})}{n(S_{1})}=\dfrac{1}{4}=0.25\)

Para \(A_{2}\), la suma de los resultados es inferior a 6, se obtiene de la siguiente forma

\(P(A_{2})=\dfrac{n(A_{2})}{n(S_{2})}=\dfrac{9}{36}=0.25\)



Enfoque frecuentista

Cuando no es posible determinar de forma exacta la probabilidad de un evento, se recurre entonces a datos históricos del mismo, mediante la estimación de la frecuencia observada.:

\[P(A)\approx \frac{\text{veces que ocurrió }A}{\text{número total de observaciones}}\]



Ejemplos

En 500 envíos de email donde se ofrecen servicios de una empresa, 125 clientes respondioeron solicitando servicios.

\[P(\text{clic})\approx \frac{125}{500}=0.25\]



Enfoque subjetivo

Se usa cuando un experto asigna probabilidad con su experiencia, información y contexto, dado que no se poseen datos históricos del evento.



Ejemplo

El gerente comercial estima en \(0.60\) la probabilidad de cerrar un contrato estratégico tras una reunión clave.




Axiomas de probabilidad


Axiomas de probabilidad

  • \(A_{1}\) : Sea \(S\) un espacio muestral asociado a un experimento. Entonces:

\[P(S)=1\]

  • \(A_{2}\) : Para cualquier evento \(A\), se cumple que:

\[0 \leq P(A) \leq 1\]

  • \(A_{3}\) : Si \(A\) y \(B\) son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\] En general

\[P(A \cup B) = P(A)+ P(B) - P(A \cap B)\]

  • \(A_{4}\) : Para cualquier evento \(A\), \(P(A')=1-P(A)\)

  • \(A_{5}\) : La probabilidad que no ocurra nada :

\[P(\phi) = 0\]



Regla general de unión:

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) ]




Tipos de probabilidad

Para definir los tipos de probabilidad, pensemos en dos eventos A y B , supongamos :



A partir de esta tabla cruzada podemos definir las siguientes probabilidades, bajo el enfoque frecuentista:




Probabilidad simple o marginal

a probabilidad simple, también llamada probabilidad marginal, es la probabilidad de que ocurra un solo evento, sin considerar simultáneamente la ocurrencia de otros eventos.

\[P(A) = \dfrac{\text{número de resultados favirables de A}}{\text{número total de resultados posibles}} \] Se denomina marginal especialmente cuando trabajamos con dos o más eventos o variables en una tabla conjunta, porque se obtiene la probabilidad de un evento sin condicionar por el otro, normalmente a partir de los totales marginales de la tabla.



Ejemplo

  • \(P(A)\) : probabilidad de que ocurra A : 70/200

  • \(P(A')\) : probabilidad de que NO ocurra A : 130/200

  • \(P(B)\) : probabilidad de que ocurra B : 80/200

  • \(P(B')\) : probabilidad de que NO ocurra B : 120/200



Probabilidad conjunta

Probabilidad conjunta: es la probabilidad de que dos o más eventos ocurran simultáneamente; es decir, que se presente tanto un evento como el otro.

\[P(A \cap B)\] Se lee : “probabilidad de que ocurra A y B”



Ejemplo

  • \(P(A \cap B)\) : probabilidad de que ocurra A y B : 45/200

  • \(P(A' \cap B)\) : probabilidad de que NO ocurra A y ocurra B : 35/200

  • \(P(A \cap B')\) : probabilidad de que ocurra A y NO ocurra B : 25/200

  • \(P(A' \cap B')\) : probabilidad de que NO ocurra A ni B : 65/200




Ejemplo

Se requiere estudiar la relación entre la satisfacción del cliente y la lealtad a la marca en una empresa. Para ello, se emplea información contenida en una tabla de contingencia y posteriormente se calcularan probabilidades conjuntas y marginales relacionadas con los eventos.



Varibales

  • Satisfacción del Cliente: Alta, Media, Baja
  • Lealtad a la Marca: Alta, Media, Baja

La siguiente tabla recoge la respuesta dada por 150 clientes



Bajo el enfoque frecuentista los resultado se convierten en probabilidades de obtener un cliente con las características seleccionadas




Probabilidad simple o marginal


\(P(LA)\) probabilidad de que un cliente seleccionado de manera aleatoria tenga lealtad con la marca alta 0.33
\(P(LM)\) probabilidad de que un cliente seleccionado de manera aleatoria tenga lealtad con la marca media 0.37
\(P(LB)\) probabilidad de que un cliente seleccionado de manera aleatoria tenga lealtad con la marca baja 0.30
\(P(SA)\) probabilidad de que un cliente seleccionado de manera aleatoria tenga un nivel de satisfacción alta 0.40
\(P(SM)\) probabilidad de que un cliente seleccionado de manera aleatoria tenga un nivel de satisfacción media 0.37
\(P(SB)\) probabilidad de que un cliente seleccionado de manera aleatoria tenga un nivel de satisfacción baja 0.23




Probabilidad conjunta


\(P(LA \cap SA)\) probabilidad de que un cliente seleccionado de manera aleatoria tenga lealtad alta con la marca y presente un nivel alto de satisfacción 0.20
\(P(LA \cap SM)\) probabilidad de que un cliente seleccionado de manera aleatoria tenga lealtad alta con la marca y presente un nivel medio de satisfacción 0.10
\(P(LA \cap SB)\) probabilidad de que un cliente seleccionado de manera aleatoria tenga lealtad alta con la marca y presente un nivel bajo de satisfacción 0.03
\(P(LM \cap SA)\) probabilidad de que un cliente seleccionado de manera aleatoria tenga lealtad media con la marca y presente un nivel alto de satisfacción 0.13
\(P(LM \cap SM)\) probabilidad de que un cliente seleccionado de manera aleatoria tenga lealtad media con la marca y presente un nivel medio de satisfacción 0.17
\(P(LM \cap SB)\) probabilidad de que un cliente seleccionado de manera aleatoria tenga lealtad media con la marca y presente un nivel bajo de satisfacción 0.07
\(P(LB \cap SA)\) probabilidad de que un cliente seleccionado de manera aleatoria tenga lealtad baja con la marca y presente un nivel alto de satisfacción 0.07
\(P(LB \cap SM)\) probabilidad de que un cliente seleccionado de manera aleatoria tenga lealtad baja con la marca y presente un nivel medio de satisfacción 0.10
\(P(LB \cap SB)\) probabilidad de que un cliente seleccionado de manera aleatoria tenga lealtad baja con la marca y presente un nivel bajo de satisfacción 0.13