Problemas




Problema 1

Para cada una de las siguientes variables, indique si es cualitativa o cuantitativa; cuando corresponda, especifique si es discreta o continua. Además, identifique su escala de medición (nominal, ordinal, de intervalo o de razón).

1. Número de botellas plásticas producidas diariamente en un proceso de moldeado, en Agua Limpia S.A
2. Número de defectos observados por gabinete para equipo de cómputo de una distribuidora
3. Tiempo de respuesta a los pedidos telefónicos en un restaurante
4. Desperdicio de hojas por día en la fotocopiadora Copiamenos
5. Tipo de defectos en tarjetas de circuito impreso de un lote de producción.
6. Temperatura de cocción de la meladura en un proceso de producción de azúcar.
7. Espesor de las piezas de metal producido en la empresa Tornos S.A.
8. Técnica de mezclado de cemento tipo A por lote en la Cementera del Norte
9. Cantidad de corriente en microamperios por cada medición en un cinescopio
10. Grado de satisfacción de los clientes ante el servicio de mantenimiento de un taller mecánico
11. Nota obtenida en el examen de estadística
12. Nivel de estrés de un estudiante antes de presentar una prueba escrita.
13. Marca del teléfono móvil de un estudiante universitario.
14. Número de llamadas recibidas por hora en un centro de atención al cliente.
15. Año de fabricación de los vehículos que ingresan a un taller.
16. Distancia recorrida, en kilómetros, por un vehículo durante un dia.
17. Nivel de prioridad asignado a una solicitud de medicamentos.
18. Código de identificación asignado a cada máquina de una planta de producción.



Problema 2

Indique el concepto referido en cada uno de los siguientes enunciados:

1. Valor que, después de ordenar los datos, divide el conjunto en dos partes con igual número de observaciones.
2. Indicador que describe la dirección y el grado de asimetría de una distribución.
3. Promedio de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto a la media.
4. Mediana de las distancias absolutas de cada observación con respecto a la mediana del conjunto.
5. Cociente entre la desviación estándar y la media aritmética; permite comparar la variabilidad relativa.
6. Raíz cuadrada positiva de la varianza y medida de dispersión expresada en las mismas unidades de la variable.
7. Diferencia entre el tercer cuartil y el primer cuartil.
8. Promedio de los valores absolutos de las desviaciones respecto a una medida de centro.
9. Diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de un conjunto de datos.
10. Valor o categoría que presenta la mayor frecuencia.
11. Promedio obtenido al sumar todas las observaciones y dividir el resultado por el número de datos.
12. Indicador que describe el grado de concentración de una distribución alrededor de su centro y el peso de sus colas.
13. Cada uno de los tres valores que dividen los datos ordenados en cuatro partes aproximadamente iguales.
14. Número de desviaciones estándar que separan una observación de la media.
15. Proporción o porcentaje de observaciones que pertenece a una categoría o clase.
16. Suma sucesiva de las frecuencias hasta un valor o una clase determinada.
17. Valor por debajo del cual se encuentra un porcentaje especificado de las observaciones.
18. Observación inusualmente alejada del patrón general del conjunto de datos.
19. Promedio en el que cada valor contribuye de acuerdo con una importancia o peso previamente asignado.
20. Promedio calculado después de eliminar la misma proporción de observaciones en cada extremo del conjunto ordenado.



Problema 3

Responda F (falso) o V (verdadero). Justifique las respuestas falsas y escriba, cuando sea posible, el enunciado correcto.

1. La desviación estándar del conjunto de valores 2, 2, 2, 2 y 2 es 2.
2. En una distribución aproximadamente normal, casi todos los datos se encuentran en un intervalo de seis desviaciones estándar de amplitud, centrado en la media.
3. Si se conocen los tamaños \(n_1\) y \(n_2\) y las medias \(\bar{x}_{1}\) y \(\bar{x}_{2}\) de dos grupos, se puede calcular la media del conjunto formado al unirlos.
4. En un diagrama de barras vertical, las categorías se representan en el eje horizontal y sus frecuencias en el eje vertical.
5. El histograma es una representación apropiada para mostrar la distribución de una variable cuantitativa continua agrupada en intervalos.
6. El polígono de frecuencias es especialmente apropiado para comparar diferentes distribuciones.
7. El diagrama de barras es una representación apropiada para una variable cuantitativa discreta con pocos valores distintos.
8. El diagrama de barras es la representación más apropiada para cualquier variable cuantitativa continua.
9. En toda gráfica, las escalas de los dos ejes deben guardar obligatoriamente una relación 1:1.
10. Toda representación gráfica de datos debe ubicarse exclusivamente en el primer cuadrante del plano cartesiano.
11. Si todos los valores de una variable con media positiva se multiplican por una constante positiva, su coeficiente de variación no cambia.
12. Para cualquier constante \(a\), se cumple que \(\operatorname{Var}(aX)=a\operatorname{Var}(X)\).
13. Al sumar 4 a cada número de la serie 2, 6, 5, 9, 1, las dos series tienen igual varianza, distinta media y diferente coeficiente de variación.
14. Al sumar una constante a todos los datos, la desviación estándar permanece igual.
15. La media siempre coincide con uno de los valores observados en el conjunto de datos.
16. Si una distribución es simétrica y unimodal, la media, la mediana y la moda coinciden.
17. El rango intercuartílico es menos sensible a los valores atípicos que el rango.
18. Una desviación estándar igual a cero indica que todas las observaciones tienen el mismo valor.
19. El coeficiente de variación es adecuado para comparar la dispersión relativa de variables medidas en escalas de razón.
20. Si se duplica cada frecuencia absoluta de una tabla, las frecuencias relativas también se duplican.



Problema 4

Elabore un gráfico para representar adecuadamente la siguiente información:

  • Durante 5 meses se construyen 134 kilómetros de carretera en la siguiente forma: En el primer mes, 3.60% del total del proyecto; en el segundo més un 7.60% del total; en el tercer més, el 15.3% del total; en el cuarto mes 24.5% del total y en último mes, el 49% restante.

  • El grupo de Probabilidad y Estadística a cargo de un profesor está conformado por : 9 estudiantes de Ingeniería Electrónica, 6 de Ingeniería de Sistemas, 25 de Ingeniería Civil, 19 de Negocios Internacionales 8 de Biología y 3 de Ingeniería Mecánica. De los que estudian Ingeniería Electrónica 6 son hombres, de los matriculados en Ingeniería de Sistemas 2 son mujeres, de los que estudian Ingeniería Civil 18 son hombres, de los que estudian Negocios internacionales 16 son mujeres, de los que estudian Biología 5 son mujeres y finalmente de los que estudian Ingeniería Mecánica 2 son hombre.

  • Una consulta en tiendas en linea para memorias USB 128GB arrojó lo siguientes valores:

x=c(60,63,64,67,68,68,68,70,70,71,71,72,72,72,73,73,74,74,75,75,75,75,75,76,76,77,77,79,80,83,83,84,85,86,87,88,88,89,89,91)
stem(x)

  The decimal point is 1 digit(s) to the right of the |

  6 | 034
  6 | 7888
  7 | 00112223344
  7 | 5555566779
  8 | 0334
  8 | 5678899
  9 | 1
  • La clasificación de los empleados de una empresa por cargo es la siguiente: un Administradores, tres Ingenieros, treinta operarios, ocho celadores, dos contadores, tres secretarias, cinco supervisores, treinta y seis vendedores.



Problema 5

Un vendedor convierte los pesos de los paquetes que se producen en su empresa de libras a kilogramos (\(1\) kg \(\simeq\) 2.2 lb.). Como afecta esta conversión la media y la desviación estándar?.



Nota

  • \(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_{i}\),

  • \(s=\sqrt{s^2}\),

  • \(s^2=\frac{1}{(n-1)}\sum (x_{i}-\bar{x})^{2}\)



Problema 6

Para analizar la rapidez con que una máquina etiqueta las botellas en una compañía de jugos, se decide hacer seguimiento al número de botellas etiquetadas por día. A partir de los resultados procesados en R presente un análisis estadístico para el número de botellas etiquetadas por día

mostrar_descr(x)
Descriptive Statistics

             datos
Mean          1.45
Std.Dev       0.25
Min           1.10
Q1            1.30
Median        1.40
Q3            1.60
Max           1.90
MAD           0.30
IQR           0.30
CV            0.17
Skewness      0.32
SE.Skewness   0.69
Kurtosis     -1.20
N.Valid      10.00
N            10.00
Pct.Valid   100.00

Punto 11 pag. 34

notas Alonso



Problema 7

El director de la asociación de comerciantes de tomates del Valle del Cauca estudia el comportamiento de las ventas diarias de los últimos meses para una muestra de 60 nuevos microempresarios en la región. Dos de las variables más importantes a tener en cuenta para el estudio fueron: Ventas (meses Mayo y Junio) y el nivel tecnológico de la empresa. La siguiente información corresponde a las ventas:


May = c(14.3, 14.4, 11.1, 11.2, 11.4, 11.4, 11.4, 11.4, 10.0, 10.5, 10.5, 10.6, 10.7, 12.1, 12.3, 12.4, 12.8,  9.3,  9.2,  9.2, 9.1,  8.4,  8.5,  7.2,  7.1,  6.2, 13.7, 13.8, 15.0, 10.0)

Jun = c(12.0, 12.0, 12.0, 12.7, 12.8, 12.9, 8.0, 8.0, 13.2, 13.3, 13.5, 13.6, 11.0, 11.5, 11.6, 11.9, 10.4, 10.3, 10.7,  9.0, 9.2,  7.4,  7.7,  6.1,  5.9, 14.3, 14.2, 14.8, 15.1, 15.2)


El nivel tecnológico de los 60 distribuidores mostró el siguiente comportamiento tomados en el estudio



May = c(14.3, 14.4, 11.1, 11.2, 11.4, 11.4, 11.4, 11.4, 10.0, 10.5, 10.5, 10.6, 10.7, 12.1, 12.3, 12.4, 12.8,  9.3,  9.2,  9.2, 9.1,  8.4,  8.5,  7.2,  7.1,  6.2, 13.7, 13.8, 15.0, 10.0)

Jun = c(12.0, 12.0, 12.0, 12.7, 12.8, 12.9, 8.0, 8.0, 13.2, 13.3, 13.5, 13.6, 11.0, 11.5, 11.6, 11.9, 10.4, 10.3, 10.7,  9.0, 9.2,  7.4,  7.7,  6.1,  5.9, 14.3, 14.2, 14.8, 15.1, 15.2)

datos=data.frame(May ,Jun )
mostrar_descr(datos)
Descriptive Statistics

               Jun    May
Mean         11.34  10.84
Std.Dev       2.65   2.22
Min           5.90   6.20
Q1            9.20   9.20
Median       11.95  10.90
Q3           13.30  12.30
Max          15.20  15.00
MAD           2.37   2.30
IQR           3.80   3.03
CV            0.23   0.20
Skewness     -0.48  -0.07
SE.Skewness   0.43   0.43
Kurtosis     -0.87  -0.66
N.Valid      30.00  30.00
N            30.00  30.00
Pct.Valid   100.00 100.00



De acuerdo con la información anterior, responda falso o verdadero a las siguientes premisas. En caso de ser falsa justifique su respuesta.

a. La variable ventas mensuales se mide en escala de razón
b. Las ventas de 6.2 millones representan un dato atípico, para la información de Mayo
c. Las ventas de Mayo son más homogéneas que las de Junio
d. La mediana de las ventas en el mes de Junio es de 11.15
e. La varianza para el mes de Junio es de 5.21
f. Aproximadamente el 68% de las ventas de Junio están en el intervalo [8.7 ; 13.3]. Nota: el intervalo incluye los valores 8.7 y 13.3.
g. Si el estado cobra un impuesto sobre las ventas del 16%, el promedio del impuesto en Junio es de 1.75
h. En la variable nivel tecnológico, el promedio es: \(\dfrac{12.5+30+17.5}{3}\)
i. El cuartil 1 \(Q_{1}\) para las ventas de Mayo es 8.0
j. El tipo de estudio corresponde a la Estadística Inferencial ya que se realizó muestreo
k. La variable nivel tecnológico de la empresa se clasifica como nominal
l. 30 empresas tienen un nivel tecnológico medio
m. Las ventas de Junio muestran sesgo negativo

Tomado de Arroyo(2012)



Problema 8

A partir del siguiente gráfico de los tiempos de atención en una entidad bancaria determine la media y la mediana (n=500 clientes). ¿Se puede afirmar que la distribución del tiempo de atención es asimétrica positiva? Se desea establecer los porcentajes de clientes atendidos en los rangos bajos (menos de 10 min), medios (entre 10 min y 12 min), altos (más de 12 min), con el fin de evaluar si en su mayoría los tiempos se concentran en el rango medio. Verifique si esta afirmación es correcta.



Problema 9

En un estudio realizado para investigar la distribución del tiempo de frendo total ( tiempo de reacción más tiempo para pasar del acelerador al freno, en ms) en condiciones reales de manejo a 60 km/h se obtuvo el siguiente resumen de la distribución de los tiempos:

Descriptive Statistics  
N: 450  
x : frenado
-------------------------
Mean       529.35
Std.Dev     94.39
Min        277.14
Q1         464.50
Median     527.85
Q3         591.93
Max        804.80
MAD         94.30
IQR        127.33
CV           0.18
Skewness     0.06
SE.Skewness  0.12
Kurtosis    -0.23
N.Valid    450.00
Pct.Valid  100.00

¿Qué se concluye en relación con la forma de estos datos?. Acompañe su análisis de un diagrama de cajas






Problema 10

Los pesos en libra de 54 paquetes de hamburguesas fueron obtenidos en el mostrador de un supermercado de cadena de la ciudad (mín = 0.75, máx = 1.41 )


  The decimal point is 1 digit(s) to the left of the |

   7 | 55
   8 | 3367799999
   9 | 22366667778899
  10 | 668888
  11 | 22224444778888
  12 | 4488
  13 | 88
  14 | 11
peso mínimo: 0.75
peso máximo: 1.41



\(\displaystyle\sum_{i=1}^{54}(x_{i}-\bar{x})=0\)


\(\displaystyle\sum_{i=1}^{54}x_{i} =56.83\)


\(\displaystyle\sum_{i=1}^{54}(x_{i}-\bar{x})^{2}=1.429387\)


\(\displaystyle\sum_{i=1}^{54}x_{i}^2 = 61.2377\)



Construya un diagrama de cajas y a partir de este resultado determine si su forma es simétrica


Para construir el diagrama de cajas se emplean los cuartiles (\(Q_{1}\), \(Q_{2}\) y \(Q_3\)). Ellos determinan la caja central del diagrama. Las lineas a lado y lado

a. Se puede afirmar que existen datos atípicos?
b. Podría afirmarse que más del 20% de los paquetes tienen un peso superior a 1.11 libras?
c. Realice un breve descripción de la información obtenida

(Tomado de Mendenhall 2006)



Problema 11

El valor alcanzado por estudiantes en un test para medir el razonamiento deductivo mediante una prueba de personalidad de Millón (MPIS) se presenta en la siguiente tabla:

Edad Marca de clase Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa Frec. Acum. Absoluta Frec. Acum. Relativa
[0-10) 3
[10-20) 6
[20-30) 7
[30-40) 12
[40-50) 3



A partir de la información responda los siguientes interrogantes:



a. Los valores obtenidos se pueden considerar como valores homogéneos?
b. La distribución representada por la tabla se puede considerar como simétrica?
c. Qué indicador de centro podría ser más apropiado para representar los datos? Justifique su respuesta.
d. Describa los resultados obtenidos en la medición.









Problema 12

Los tiempo en minutos de demora en la entrega de pedidos por parte de dos proveedores de insumos para laboratorio que llamaremos \(P_{A}\) y \(P_{B}\) son los siguientes :

PA=c(13,44,10,11,20,29,30,44,56,63,70,82); cat("Proveedor A: ", PA, "\n")
Proveedor A:  13 44 10 11 20 29 30 44 56 63 70 82 
PB=c(25,14,20,22,30,33,40,45,49,52,55,58); cat("Proveedor B: ", PB, "\n")
Proveedor B:  25 14 20 22 30 33 40 45 49 52 55 58

Con base en la información, cuál proveedor escogería? Justifique su respuesta

(Tomado de Arroyo(2012))






Problema 13

Un una fabrica de de jabones para el aseo personal realizó un estudio con el objetivo de mejorar una linea de este producto, mediante la medición de los pesos (en onzas) de 50 barras.

Los resultados obtenidos y algunos cálculos sobre los datos se presentan a continuación :

x = c(20.3, 19.2, 18.8, 18.5, 18.5, 18.3, 18.3, 18.2, 18.1, 17.7, 17.6,
14.4, 17.4, 17.4, 17.3, 17.3, 17.1, 17.0, 16.6, 16.5, 16.5,  16.5,
16.4, 16.3, 16.2, 16.2, 16.1, 15.9, 15.9, 15.8, 15.8, 15.7, 15.6,
15.6, 15.2, 15.1, 14.8, 14.6, 14.3, 14.3, 14.1, 13.8, 13.7, 13.6,  
13.3, 13.1, 12.8, 12.7, 12.6,  11.6)
stem(x)

  The decimal point is at the |

  11 | 6
  12 | 678
  13 | 13678
  14 | 133468
  15 | 126678899
  16 | 122345556
  17 | 01334467
  18 | 1233558
  19 | 2
  20 | 3
Suma x  :     798.6 
Suma x2 :   12941.46 
Suma x3 :  212596.4 
Suma x4 : 3537246 
sd      :       1.949468

Por política de la empresa, el peso del producto debe estar en un 90% de los casos entre más o menos dos onzas alrededor del peso especificado en la etiqueta del producto (16.0 onzas). Un segundo criterio importante es establecer si en los datos obtenidos se presentan datos atípicos y si los valores se pueden clasificar como homogéneos, teniendo como referencia un indicador del 10%. En caso de no cumplimiento de los criterios de calidad será necesario detener la producción y llamar a la empresa de mantenimiento para que realice los ajustes necesarios.

Debido a que la muestra obtenida constituye una muestra representativa del proceso, el director de la empresa le pide le ayude a validar los resultados y le indique que decisión debe tomarse a partir de la información obtenida



Problema 14

Un grupo de estudiantes de la universidad, preocupados por el incremento del uso de los vapeadores entre los jóvenes, realizan un estudio acerca de los efectos de su uso sobre los patrones de sueño. Para estudiar el problema miden el tiempo en minutos que se tarda un joven en quedarse dormido. Con el fin de tener un grupo de referencia, la observación se realiza en jóvenes que utilizan el vapeador y los que lo usan. Los resultados obtenidos fueron los siguientes

# Vapeadores  
x = c(69.3, 56.0, 22.1, 47.6, 53.2, 48.1, 52.7, 34.4, 60.2, 43.8, 23.2, 33.8, 45.5, 55.2, 48.2)
cat("x = ", x, "\n")
x =  69.3 56 22.1 47.6 53.2 48.1 52.7 34.4 60.2 43.8 23.2 33.8 45.5 55.2 48.2 
# No vapeadores  
y = c(28.6, 25.1, 26.4, 34.9, 29.3, 28.4, 38.5, 30.2, 30.6, 31.8, 41.6, 21.1, 36.0, 37.9, 13.9)
cat("y = ",y, "\n")
y =  28.6 25.1 26.4 34.9 29.3 28.4 38.5 30.2 30.6 31.8 41.6 21.1 36 37.9 13.9 
cat("\n")
#summarytools::descr(data.frame(x,y))

De a cuerdo con los valoresa obtenidos es posible afirmar que existen diferencias en los dos grupos observados con referencia al tiempo que se requiere para quedarse dormido?






Problema 15

Determine el valor de verdad (verdadera - V, falsa - F) para cada una de las siguientes afirmaciones. En cada caso justifique su respuesta:

  1. ( ) Al construir una gráfica barras, las frecuencia deben representarse en el eje de las ordenadas.
  2. ( ) El histograma, es una representación muy efectiva de las frecuencias obtenidas en una variable categórica.
  3. ( ) El polígono de frecuencias, es especialmente apto para comparar datos con diferentes formas.
  4. ( ) Una variable cualitativa en escala ordinal puede ser representada mediante un histograma.
  5. ( ) El diagrama de barras se emplea para representar datos continuos.
  6. ( ) La relación de las escalas en un diagrama de puntos debe ser 1:1 .
  7. ( ) Las gráficas de puntos o de dispersión se deben representar en el primer cuadrante del plano cartesiano.
  8. ( ) Si sumamos una constante a la mitad de los datos, la media se altera en la mitad de la constante.
  9. ( ) El gráfico circular se emplea para representar variables cualitativas medidas en escala ordinal.






Problema 16

Diez estudiantes que realizan practica estudiantil reciben un salario mensual durante su trabajo en miles de pesos :

x= c(1.1, 1.2, 1.4, 1.7, 1.9, 1.3, 1.6, 1.4, 1.3, 1.6)
x
 [1] 1.1 1.2 1.4 1.7 1.9 1.3 1.6 1.4 1.3 1.6
  • Calcules la media y la mediana.
  • ¿Cual de los indicadores es más representativo de la información como indicador de tendencia central? Justifique su respuesta.






Problema 17

El peso de 80 artículos es de 130 kgs. Si 60 de ellos pesan en promedio 120 kgs. ¿Cual será el peso promedio de los 70 artículos restantes?




Problema 18

Construye un ejemplo específico para el caso de:

  • Media armónica
  • Media geométrica
  • Media ponderada
  • Media truncada



Problema 19

Una persona que viaja en un vehículo de una ciudad A a una ciudad B, en el viaje de ida la velocidad media es de 40 km/h y de regreso (B -> A) registra una velocidad promedio de 60 km/h. Se pueden calcular los valores de la media y mediana para el viaje completo ?







Problema 20

Describa la relación existente entre la media y la mediana para los siguientes casos :

  • Forma de los datos acampanada
  • Forma de los datos rectangular
  • Forma de los datos asimétrica positiva
  • Forma de los datos asimétrica negativa

Realice un bosquejo de su representación gráfica y de la posición de los indicadores de centro.




Problema 21

Supermercados de ventas de alimentos:

El siguiente conjunto de datos incluye información de la última semana de 100 establecimientos sobre sus ventas, costos, utilidad, número de empleados y su estrato socio-económico del barrio donde se encuentran localizados. Realiza un análisis descriptivo de la información suministrada, utilizando indicadores de centro, dispersión y forma y gráficos que complementen el análisis, que permitan identificar tendencias en las ventas, costos y beneficios, si existe relación entre sus indicadores y su localización, de tal forma que permitan establecer un estado inicial de las empresas para este año.


Información

ventas <-c(41.3, 55.1, 83.4, 61.6, 46.1, 67.4, 59.5, 77.4, 71.7, 61.6, 70.2,  64.1, 61.6, 56.6, 76.8, 65.4, 74.4, 66.4, 62.4, 66.1, 59.6, 45.6,  61.5, 59.7, 49.3, 95.2, 56.0, 75.0, 64.7, 59.3, 51.6, 44.1, 58.2, 52.5, 53.5, 56.0, 59.2, 53.7, 51.3, 59.6, 51.0, 48.7, 49.4, 94.9, 77.0, 56.2, 63.0, 62.6, 56.9, 48.5, 68.0, 50.3, 59.0, 67.6, 46.0, 57.9, 64.9, 61.0, 64.0, 66.2, 51.6, 67.0, 57.6, 68.2, 61.3, 53.7,  71.7, 59.6, 73.9, 66.1, 67.0, 55.8, 64.2, 60.3, 51.2, 68.2, 67.0,60.7, 50.5, 54.5, 54.3, 51.6, 77.1, 53.9, 62.0, 70.5, 61.1, 39.2,  61.3, 56.0, 68.9, 59.7, 53.7, 62.0, 58.4, 69.2, 67.4, 63.8, 55.1, 64.1)

costos =c(35.8, 31.2, 28.7, 39.7, 39.0, 34.8, 25.5, 30.9, 30.0, 37.0, 33.3, 40.9, 38.9, 34.0, 41.5, 30.5, 39.1, 36.0, 29.1, 34.2, 34.3, 45.7, 46.2, 34.1, 39.7, 42.6, 36.8, 39.3, 27.2, 40.7, 41.5, 28.4, 38.3, 31.9, 31.0, 33.9, 39.9, 35.4, 39.8, 44.3, 32.7, 33.3, 34.3, 33.3, 36.9, 42.5, 40.2, 28.3, 30.4, 44.6, 40.7, 26.6, 27.2, 34.7, 39.5, 36.8, 34.5, 42.4, 35.4, 25.6, 43.5, 28.1, 33.0, 29.7, 44.0, 49.3, 39.9, 30.7, 37.2, 36.8, 40.5, 37.4, 25.9, 43.0, 30.2, 34.6, 36.1, 39.9, 28.5, 37.7, 32.7, 40.4, 29.6, 34.0, 34.5, 34.4, 35.8, 28.2, 32.9, 38.6, 47.9, 29.2, 28.0, 31.7, 46.0, 37.8, 38.3, 30.7, 40.7, 39.6)

utilidad = c(22.6, 17.5, 19.5, 19.3, 23.0, 26.4, 23.4, 31.3, 30.9, 22.2, 26.1, 34.4, 29.0, 13.7, 21.4, 29.8, 22.3, 22.0, 20.4, 34.0, 19.9, 20.3, 27.0, 14.9, 36.9, 35.2, 29.0, 13.2, 30.6, 23.8, 31.2, 24.0, 33.3, 26.9,  5.9, 27.8, 31.9, 12.3, 14.8, 36.3, 24.4, 24.7, 28.6, 31.7, 26.9, 17.9, 20.8, 18.2, 33.9, 30.3, 29.3, 10.1, 34.6, 25.6, 27.7, 18.0, 31.6, 12.5, 29.2, 23.0, 24.4, 30.5, 15.3, 23.8, 34.7, 23.5, 24.4, 34.3, 23.6, 11.4, 10.0, 21.5, 31.3, 36.1, 29.7, 23.5, 26.8, 22.8, 29.9, 30.6, 20.3, 23.5, 30.6, 19.5, 32.5, 34.4, 18.9, 30.7, 27.9, 20.5, 25.7, 17.2, 36.0, 19.0, 18.4, 23.4, 30.8, 18.2, 16.8, 33.1)

empleados = c(14, 18, 17, 14, 16, 22, 17, 11,  9,  2, 15, 24, 18, 26, 21, 16,  9, 24, 10, 16, 17, 10, 11, 16, 22, 16, 15, 11, 13, 25,  6, 20, 17,  7, 14, 22, 21, 15, 16,  6, 10, 16, 13, 25, 14, 23, 15, 16,  9, 26, 21, 15, 24, 14,  9,  3, 18, 15, 15, 12, 16, 18, 24, 16, 23, 17, 15, 20, 16, 13, 11, 13, 13,  9, 26, 11,  8, 17, 15, 16, 13, 23, 16, 20, 17, 15, 25, 14, 20, 20, 10, 14, 13, 20, 20, 17, 15, 15, 16, 13)
 
estrato =c(5, 3, 3, 3, 5, 4, 2, 4, 5, 2, 2, 3, 3, 4, 6, 6, 6, 3, 5, 5, 2, 5, 4, 5, 2, 2, 2, 5, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 3, 6, 2, 4, 6, 5, 4, 5, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 5, 2, 2, 6, 3, 6, 6, 4, 5, 6, 5, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 4, 5, 5, 2, 5, 2, 2, 2, 6, 2, 5, 3, 6, 2, 4, 3, 2, 6, 2, 5, 5, 4, 3, 3, 4, 3, 6, 4, 5, 6, 5, 5, 6, 4, 4)

datosENE =data.frame(id=1:100,ventas,costos,utilidad,empleados, estrato)
mostrar_descr(datosENE[,2:6])

Descriptive Statistics

            costos empleados estrato utilidad ventas
Mean         35.78     15.85    3.85    24.89  61.07
Std.Dev       5.49      5.14    1.40     6.96   9.76
Min          25.50      2.00    2.00     5.90  39.20
Q1           31.10     13.00    3.00    20.10  54.40
Median       35.60     16.00    4.00    24.40  60.85
Q3           39.85     20.00    5.00    30.60  66.70
Max          49.30     26.00    6.00    36.90  95.20
MAD           6.38      4.45    1.48     8.08   9.12
IQR           8.67      7.00    2.00    10.40  12.10
CV            0.15      0.32    0.36     0.28   0.16
Skewness      0.13     -0.06    0.09    -0.34   0.73
SE.Skewness   0.24      0.24    0.24     0.24   0.24
Kurtosis     -0.70     -0.15   -1.31    -0.56   1.58
N.Valid     100.00    100.00  100.00   100.00 100.00
N           100.00    100.00  100.00   100.00 100.00
Pct.Valid   100.00    100.00  100.00   100.00 100.00



Problema 22

Una característica de calidad importante en un proceso de llenado automático es el peso del producto. Las empresas cuidan que el producto final no tenga pesos por debajo del anunciado en su etiqueta, pues de hacerlo puede incurrir en multas y pérdida de algunos de sus clientes. Por el contrario, si el producto se empaca muy por encima del peso especificado, se estará incurriendo en sobrecostos para la empresa.

Una empresa que comercializa café instantáneo descafeinado, en presentación de 6.5 gramos, tiene dentro sus directrices, al comenzar el día, tomar una muestra de 50 bolsas y medir su peso. Se espera que los resultados estén entre más o menos 1.5 gramos alrededor del valor especificado en la etiqueta. Si el porcentaje de bolsas en la muestra es superior al 95 %, se da inicio al proceso. Si alcanza porcentajes entre el 85 % y 95 %, se debe llamar al ingeniero de planta para que realice los ajustes necesarios. Finalmente, si se encuentran porcentajes inferiores al 85 % se debe reportar a la empresa de mantenimiento, para que realicen ajustes mayores.

El día de hoy se recogió información de una muestra de 50 bolsas. A continuación se presentan los datos y su representación gráfica.

Realice un breve análisis de la información suministrada y a partir de ella realice recomendaciones.

   # Diagrama de tallos y hojas, peso del paquete de café instantáneo en gramos
   stem(c(4.3, 4.7, 4.8, 4.8, 4.9, 5.0, 5.1, 5.2, 5.4, 5.5, 5.7, 5.7, 5.8, 5.8, 5.9, 5.9, 6.0, 6.0, 6.1, 6.1, 6.1, 6.1, 6.2, 6.2, 6.2, 6.3, 6.3, 6.4, 6.4, 6.5, 6.5, 6.6, 6.7, 7.0, 7.2, 7.3, 7.4, 7.6, 7.7, 7.8, 8.2, 8.5, 8.7, 8.9))

  The decimal point is at the |

  4 | 3
  4 | 7889
  5 | 0124
  5 | 5778899
  6 | 0011112223344
  6 | 5567
  7 | 0234
  7 | 678
  8 | 2
  8 | 579
# Datos de los pesos de los paquetes de café instantáneo
pesos <- c(4.3, 4.7, 4.8, 4.8, 4.9, 5.0, 5.1, 5.2, 5.4, 5.5, 5.7, 5.7, 5.8, 5.8, 5.9, 5.9, 6.0, 6.0, 6.1, 6.1, 6.1, 6.1, 6.2, 6.2, 6.2, 6.3, 6.3, 6.4, 6.4, 6.5, 6.5, 6.6, 6.7, 7.0, 7.2, 7.3, 7.4, 7.6, 7.7, 7.8, 8.2, 8.5, 8.7, 8.9)

# Construcción de la tabla de frecuencias acumuladas
tabla_frecuencias <- table(cut(pesos, breaks = seq(4.0, 9.0, by = 0.5), right = TRUE))
frecuencia_acumulada <- cumsum(tabla_frecuencias)

# Creación de la ojiva
plot(seq(4.25, 8.75, by = 0.5), frecuencia_acumulada, type = "o", 
     xlab = "Peso del paquete de café (gramos)", ylab = "Frecuencia acumulada", 
     main = "Ojiva del Peso de Paquetes de Café Instantáneo",
     xlim = c(4, 9), ylim = c(0, max(frecuencia_acumulada) + 5),
     col = c31, pch = 16, las=1)
grid()



Problema 23

Una de las principales medidas de la calidad de servicio que ofrece una organización y sus departamentos es la rapidez con la que responde a las quejas de sus clientes. El Centro de Servicios Informáticos de la Universidad está interesado en disminuir el tiempo de atención a quejas que se presentan relacionados con el mal funcionamiento de las máquinas virtuales tanto para profesores, colaboradores como para estudiantes que realizan prácticas de investigación. Con el fin de estudiar el comportamiento de este indicador, selecciona una muestra de los tiempos de atención en horas que se presentan a continuación:

2  | 3
4  | 4
6  | 4 7 8 1 1 1 3 4 5 5 8 9
8  | 1 3 0 0 4 5 6 7
10 | 1 6 6 6 8 8 9 9 9 9 0 3 5 5 5 5 8
12 | 1 4 5 7 1 1 3 8 8
14 | 6 2

10.6  10.9   13.3   11.5   11.5    9.0    7.1   10.8   13.1
 8.1  14.6    9.4   12.1    7.1    7.3    6.8   13.1   10.8
13.8   9.6   11.5    6.7    7.8    9.7    9.5    7.5   10.1
12.7  12.5    7.1   10.9   10.6   12.4   10.6    9.0    7.5
11.5   7.4   11.3   11.8    6.4    2.3   15.2    5.4   10.9
8.3   10.9    7.9   13.8   11.0

  • \(\sum_{i=1}^{50} x_i = 500.7\)

  • \(\sum_{i=1}^{50} x_i^2 = 5869.69\)

  • \(\sum_{i=1}^{50} (x_i - \bar{x})^2 = 336.4\)

La auditoría de la universidad desea conocer si el Centro Informático está cumpliendo con lineamientos establecidos por las normas para este tipo de servicios, dentro de los cuales se destacan:

  1. No poseer datos atípicos.
  2. No exceder las 10 horas para la atención. Solo está permitido un 5% de la muestra analizada.
  3. Tener un 80% de los tiempos por debajo de las 8 horas (que equivalen a un día laboral).
  4. Tener una distribución con asimetría positiva.

El responsable de la auditoría le pide revise cada uno de los lineamientos y su cumplimiento y realizar un breve informe.



Problema 24

Una entidad financiera está interesado en mejorar la eficiencia en el tiempo de procesamiento de solicitudes de préstamos. Con este fin, ha seleccionado una muestra de los tiempos de procesamiento (en horas) de 100 solicitudes recientes. Los resultados se muestran a continuación, junto con un análisis gráfico.

# Simulando los datos para tiempos de procesamiento de préstamos
set.seed(123)
tiempos <- round(rnorm(100, mean = 18, sd = 4),1)

# Mostrando el diagrama de tallo y hojas
stem(tiempos)

  The decimal point is at the |

   8 | 8
  10 | 138
  12 | 9914577999
  14 | 1222355688
  16 | 001124557788911111247889
  18 | 023455679002345567788
  20 | 0223688134567
  22 | 0014689045
  24 | 11291
  26 | 277
# Imprimiendo los datos
tiempos
  [1] 15.8 17.1 24.2 18.3 18.5 24.9 19.8 12.9 15.3 16.2 22.9 19.4 19.6 18.4 15.8
 [16] 25.1 20.0 10.1 20.8 16.1 13.7 17.1 13.9 15.1 15.5 11.3 21.4 18.6 13.4 23.0
 [31] 19.7 16.8 21.6 21.5 21.3 20.8 20.2 17.8 16.8 16.5 15.2 17.2 12.9 26.7 22.8
 [46] 13.5 16.4 16.1 21.1 17.7 19.0 17.9 17.8 23.5 17.1 24.1 11.8 20.3 18.5 18.9
 [61] 19.5 16.0 16.7 13.9 13.7 19.2 19.8 18.2 21.7 26.2 16.0  8.8 22.0 15.2 15.2
 [76] 22.1 16.9 13.1 18.7 17.4 18.0 19.5 16.5 20.6 17.1 19.3 22.4 19.7 16.7 22.6
 [91] 22.0 20.2 19.0 15.5 23.4 15.6 26.7 24.1 17.1 13.9
# Generando una gráfica simple para visualizar la distribución de los tiempos
plot(tiempos, type = "b", main = "Distribución de Tiempos de Procesamiento de Préstamos", xlab = "Número de Solicitud", ylab = "Tiempo de Procesamiento (horas)")

mostrar_descr(tiempos)
Descriptive Statistics

             datos
Mean         18.36
Std.Dev       3.65
Min           8.80
Q1           16.00
Median       18.25
Q3           20.80
Max          26.70
MAD           3.56
IQR           4.80
CV            0.20
Skewness      0.06
SE.Skewness   0.24
Kurtosis     -0.22
N.Valid     100.00
N           100.00
Pct.Valid   100.00

Criterios establecidos por el banco:

  • No poseer tiempos de procesamiento extremadamente largos (outliers).
  • El tiempo promedio de procesamiento no debe exceder las 24 horas. Solo se permite que un 10% de las solicitudes superen este tiempo.
  • Al menos el 70% de los tiempos deben estar por debajo de las 15 horas.
  • La distribución del tiempo de procesamiento debe mostrar una tendencia hacia tiempos más cortos (simetría).
  • El coeficiente de variación (CV) no debe superar el 20%. Esto asegura que la variabilidad de los tiempos de procesamiento en relación con la media no sea excesiva.
  • No más del 5% de los tiempos debe ser menor a 6 horas. Esto evitaría tiempos de procesamiento demasiado rápidos que podrían indicar un procesamiento inadecuado o apresurado.

El director de operaciones del banco ha solicitado una revisión de estos criterios y un informe breve sobre el cumplimiento y posibles mejoras en el proceso.




Practica