Productoria

El productorio o productoria, también conocido como multiplicatorio, multiplicatoria o simplemente producto es una notación matemática que representa una multiplicación de una cantidad arbitraria finita o infinita.

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Este operador será utilizado para desarrollar el método de estimación de Máxima Verosimilitud, soporte de la inferencia estadística abordado en la Unidad 4.1 del Módulo 4.

Definición

Se define como:

\[\displaystyle\prod_{i=1}^n a_{i} = a_1 \times a_2 \times a_3 \times \cdots \times a_n\]

El operador consiste en multiplicar un número establecido de términos \(a_i\). Una de las aplicaciones más conocida de la productoria son los números factoriales

\[n! = \displaystyle\prod_{i=1}^n i = 1 \times 2 \times 3 \cdots \times n\]

Este operador también se utiliza para multiplicar funciones, matrices como por ejemplo:

\[\displaystyle\prod_{i=1}^n f(x_i) = f(x_1) \times f(x_2) \times f(x_3) \cdots \times f(x_n)\] Para el caso de \(f(x) = \exp\{x\}\) tenemos:

\[\displaystyle\prod_{i=1}^n \exp\{x_i\} = \exp\{x_1\} \times \exp\{x_2\} \times \exp\{x_3\} \cdots \times \exp\{x_n\}\]

Al tener la misma base con diferente exponente, el resultado se obtiene al colocar la misma base y sumar los exponentes,

\[\exp\Bigg\{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}\Bigg\}\]

Encontrar la multiplicación de los 10 primeros números

\[\displaystyle\prod_{x=1}^{10} x = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 \]

prod(1:10)
[1] 3628800



Problemas propuestos

  1. \(\displaystyle\prod_{k=1}^{20} 2^{k}\)

  2. \(\displaystyle\prod_{k=1}^{20} k 2^{k}\)

  3. \(\displaystyle\prod_{i=1}^n f(x_{i})\)

para las siguientes funciones:

  • \(f(x) = \dfrac{1}{60}\)

  • \(f(x_{i}) = \dfrac{1}{x_{i}}\)

  • \(f(x_{i}) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\bigg\{-\frac{1}{2}x_i^{2}\bigg\}\)

  1. Calcule \(\displaystyle\prod_{k=1}^{6}(k+1)\) y escriba el producto de forma desarrollada.

  2. Evalúe \(\displaystyle\prod_{i=1}^{8}3\) y exprese el resultado como una potencia.

  3. Utilice notación de productoria para representar \(10!\) y compruebe el resultado con la función factorial() de R.

  4. Para \(x=(2,4,3,5,2)\), calcule \(\displaystyle\prod_{i=1}^{5}x_i\) y verifique el resultado con la función prod().

  5. Si \(\displaystyle\prod_{i=1}^{4}x_i=120\), determine \(\displaystyle\prod_{i=1}^{4}(2x_i)\) sin conocer individualmente los valores de \(x_i\).

  6. Simplifique \(\displaystyle\prod_{i=1}^{n}(a b_i)\) en términos de \(a\) y de \(\displaystyle\prod_{i=1}^{n}b_i\). Luego evalúe el resultado para \(a=2\), \(n=4\) y \(b=(1,3,2,5)\).

  7. Una inversión se multiplica cada año por los factores \(1.05\), \(1.04\), \(1.06\), \(1.03\) y \(1.05\). Utilice una productoria para calcular el factor acumulado y el valor final de una inversión inicial de \(1\,000\,000\) de pesos.

Código R

# Ejercicio 1: calcula el producto de 2^k para k = 1, ..., 20.
prod(2^(1:20))

# Ejercicio 2: multiplica los términos k * 2^k para k = 1, ..., 20.
prod((1:20) * 2^(1:20))

# Ejercicio 3: define los valores donde se evaluarán las funciones.
x <- c(1, 2, 3, 4)
n <- length(x)  # Número de factores del producto.

# Producto de la función constante f(x_i) = 1/60.
prod(rep(1 / 60, n))

# Producto de los recíprocos f(x_i) = 1/x_i.
prod(1 / x)

# Producto de las densidades normales estándar evaluadas en cada x_i.
prod(dnorm(x))

# Ejercicio 4: evalúa k + 1 para k = 1, ..., 6 y multiplica.
prod((1:6) + 1)

# Ejercicio 5: comprueba que multiplicar ocho factores 3 equivale a 3^8.
prod(rep(3, 8))
3^8

# Ejercicio 6: compara la productoria de 1 a 10 con factorial(10).
prod(1:10)
factorial(10)

# Ejercicio 7: multiplica todos los elementos del vector x.
x <- c(2, 4, 3, 5, 2)
prod(x)

# Ejercicio 8: usa prod(2x_i) = 2^n * prod(x_i).
producto_x <- 120
n <- 4
2^n * producto_x

# Ejercicio 9: verifica prod(a*b_i) = a^n * prod(b_i).
a <- 2
b <- c(1, 3, 2, 5)
a^length(b) * prod(b)  # Resultado mediante la propiedad.
prod(a * b)            # Comprobación mediante el producto directo.

# Ejercicio 10: multiplica los factores anuales de crecimiento.
factores <- c(1.05, 1.04, 1.06, 1.03, 1.05)
factor_acumulado <- prod(factores)
capital_inicial <- 1000000

# Muestra el factor acumulado y calcula el capital al final de cinco años.
factor_acumulado
capital_inicial * factor_acumulado