INTEGRACIÓN

Integración

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitesimalmente pequeños: una suma continua. La integral es la operación inversa al diferencial de una función.

La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, en un sistema de coordenadas cartesianas con signo positivo cuando la función toma valores positivos y signo negativo cuando toma valores negativos.

En estadística, se utiliza para verificar propiedades de funciones de densidad, calcular probabilidades y obtener momentos.

• Verificación de densidad: \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 1\)

• Probabilidad en un intervalo: \(P(a \leq X \leq b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\, dx\)

• Esperanza matemática: \(E[X] = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\, dx\)

• Momento k-esimo: \(E[X^k] = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x^k f(x)\, dx\)

Propiedades de la Integración

1. Linealidad : \(\displaystyle\int (f(x)+g(x))\, dx = \displaystyle\int f(x)\, dx + \int g(x)\, dx\)

2. Constante: \(\displaystyle\int c f(x)\, dx = c \displaystyle\int f(x)\, dx\)

3. Intervalos: \(\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx = - \displaystyle\int_b^a f(x)\, dx\)

4. Aditividad en intervalos: \(\displaystyle\int_a^c f(x)\, dx = \displaystyle\int_a^b f(x)\, dx + \displaystyle\int_b^c f(x)\, dx\)

Ejemplos

Ejemplo 1

Sea :

\(f(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}\)

Calcular: \(P(0.2 \leq X \leq 0.5)\)

\[P(0.2 \leq X \leq 0.5) = \displaystyle\int_{0.2}^{0.5} 1\, dx = 0.3\]

Ejemplo 2

Sea \(f(x) = e^{-x}, \quad x \geq 0\)

Calcular: \(E[X]\)

\[E[X] = \displaystyle\int_0^\infty x e^{-x}\, dx = 1\]

Ejemplo 3

\(f(x) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}, \quad -\infty < x < \infty\)

Calcular: \(P(-1 \leq X \leq 1)\)

\[P(-1 \leq X \leq 1) = \displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\, dx \approx 0.6826\]

Integración doble

Si la densidad conjunta está definida por:

\(f(x,y) = 1, \quad 0 \leq x \leq 1, \; 0 \leq y \leq 1\)

Entonces la probabilidad : \(P(0 \leq X \leq 0.5, \; 0 \leq Y \leq 0.5)\) es:

\[\displaystyle\int_{0}^{0.5}\int_{0}^{0.5} 1 \, dx\, dy = (0.5)(0.5) = 0.25\]

Problemas propuestos

1. Sea \(f(x) = \begin{cases} \tfrac{1}{3} & 2 \leq x \leq 5 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}\)

Calcular \(P(3 \leq X \leq 4)\)

2. Sea: \(f(x) = 2 e^{-2x}, \quad x \geq 0\)

   
   

   Verificar que \(\displaystyle\int_0^\infty f(x)\, dx = 1\)

3. Sea: \(f(x) = e^{-x}, \quad x \geq 0\)

Calcular \(E[X^2] = \displaystyle\int_0^\infty x^2 e^{-x}\, dx\)

4. Sea \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}, \quad -\infty < x < \infty\)

Aproximar \(P(-2 \leq X \leq 2)\)

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5. Sea

\(f(x,y) = 1, \quad 0 \leq x \leq 1, \; 0 \leq y \leq 1\)

Calcular \(P(X+Y \leq 1)\)