DERIVACIÓN

Derivada

La derivada de una función mide la tasa de cambio instantánea de una variable dependiente respecto a una variable independiente.
Geométricamente, la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

En estadística, las derivadas son fundamentales para:

• Encontrar máximos y mínimos (optimización).
  
• Analizar tasas de cambio en distribuciones.
  
• Calcular estimadores de máxima verosimilitud.

Propiedades de la Derivación

Si \(f(x)\) y \(g(x)\) son funciones derivables y \(c\) una constante:

1. Linealidad

   \((f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x), \quad (cf(x))' = c f'(x)\)

2. Regla del producto \((f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)

3. Regla del cociente \(\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)' = \dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}, \quad g(x)\neq 0\)

4. Regla de la cadena \((f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x)\)

5. Funciones elementales

• \((x^n)' = nx^{n-1}\),
• \((e^x)' = e^x\)
• \((\ln x)' = \tfrac{1}{x}\),
• \((\sin x)' = \cos x\),
• \((\cos x)' = -\sin x\)

Ejemplos

Ejemplo 1:
\(f(x) = 3x^2 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 6x\)

Ejemplo 2:
\(f(x) = \ln(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \dfrac{1}{x}\)

Ejemplo 3:
\(f(x) = e^{2x} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 2e^{2x}\)

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Problemas propuestos

1. Calcular la derivada de: \(f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 4\)

2. Hallar la pendiente de la tangente en \(x=1\) para: \(f(x) = \sqrt{x}\)

3. Determinar \(f'(x)\) para: \(f(x) = \dfrac{x^2+1}{x}\)

4. Calcular la segunda derivada de: \(f(x) = \sin(x)\cdot e^x\)

5. Encontrar los puntos críticos (máximos o mínimos) de: \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\)