Función exponencial

Módulo 0

La función exponencial es una función matemática fundamental en la que el valor de la función crece (o decrece) rápidamente a medida que el valor de la variable independiente aumenta. La forma general de la función exponencial es :

Definición

\[ f(x) = a . b ^{x} \] Donde :
* \(a\) : Es un parámetro que representa el valor inicial de la función cuando \(x=0\). Es la ordenada al origen o el valor de la función cuando \(x=0\).

• \(b\) : Es la base de la función exponencial. Determina la tasa de crecimiento de la función.
  • Si \(b>1\), la función crece exponencialmente.
  • Si \(0<b<1\), la función decrece exponencialmente.
• \(x\) : Es la variable independiente. Representa el valor que se evalua para obtener el valor de \(f(x)\).

Propiedades

• \(b^x . b^y = b^{x+y}\)
• \(\dfrac{b^x}{b^y} = b^{x-y}\)
• \((b^x)^y = b^{xy}\)
• \(b^{x+y} \neq b^x + b^y\)
• \(b^0 = 1\)
• \(b^1 = b\)

Un caso particular ocurre cuando \(b = e\)

Caso f(x) = exp{x}

library(ggplot2)

# Datos
x <- seq(-2, 2, by = 0.1)
y <- exp(x)
data <- data.frame(x = x, y = y)

# Gráfico
ggplot(data, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "darkblue") +
  labs(title = "Gráfico de la función exponencial f(x) = exp{x}",
       x = "x",
       y = "y") +
  theme_minimal()

Caso f(x) = exp{-x}

library(ggplot2)

# Datos
x <- seq(-2, 2, by = 0.1)
y <- exp(-x)
data <- data.frame(x = x, y = y)

# Gráfico
ggplot(data, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "darkblue") +
  labs(title = "Gráfico de la función exponencial  f(x) = exp{-x}",
       x = "x",
       y = "y") +
  theme_minimal()

Una de las funciones de densidad de probabilidad más conocida en estadística es el modelo exponencial

\[f(x) = \dfrac{1}{\lambda} \hspace{.2cm} exp{(-1/\lambda)}\]

Para un valor de \(\lambda = 2\) tenemos la siguiente función:

\[f(x) = \dfrac{1}{2} \hspace{.2cm} exp{(-x/2)}, \hspace{1cm} x>0\]

library(ggplot2)

# Datos
x <- seq(0, 6, by = 0.1)
y <- 1/2*exp(-x/2)
data <- data.frame(x = x, y = y)

# Gráfico
ggplot(data, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "darkblue") +
  labs(title = "Gráfico de la función exponencial  f(x) = exp{-x}",
       x = "x",
       y = "y") +
  theme_minimal()